DÚ - hodnosť s parametrom

[Martin Sleziak]

Zadanie vo všetkých skupinách: Vypočítajte hodnosť parametra v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$.

1. $\begin{pmatrix}
c & c+1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & c & 1
\end{pmatrix}$

Výsledok: Pre $c=\pm1$ je $h(A)=2$. Pre ostatné hodnoty parametra je $h(A)=3$.

2. $\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
-c & -c & 1 \\
1 & c &-1
\end{pmatrix}$

Výsledok: Pre $c=1$ je hodnosť $h(A)=2$. Pre ostatné hodnoty parametra je $h(A)=3$.

3. $\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
-c & 1 & c \\
1 & 1 &-1
\end{pmatrix}$

Výsledok: Pre $c=\pm1$ je $h(A)=2$. Pre ostatné hodnoty parametra je $h(A)=3$.

4. $\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c+2 \\
-c & c+1 & 1 \\
c & 1 & 0
\end{pmatrix}$

Výsledok: Pre $c=-1$ je $h(A)=2$. Pre ostatné hodnoty parametra je $h(A)=3$.

Na fóre je vyriešených viacero úloh tohto typu:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

Vo všetkých týchto príkladoch je postup pomerne štandardný. Nebudem písať dlhé komentáre - stručne napíšem postup. (Pričom vynechám výpočet pre výnimočné hodnoty parametra - to už je počítanie s konkrétnymi číslami, takže by ste ho zvládli.)

Explicitne spomeniem, že časom sa naučíme, že pri výpočte hodnosti sa dajú používať aj stĺpcové operácie; súvisí to s rovnosťou $h(A)=h(A^T)$.
A dajú sa použiť aj determinanty.

Pri tejto domácej úlohe sa očakávalo riešenie s vedomosťami, ktoré boli prebraté v čase, keď bola zadaná. Čiže zatiaľ iba riadkové operácie. (Všetky riešenia uvedené nižšie sú takéto.)

[Martin Sleziak]

1. $\begin{pmatrix}
c & c+1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & c & 1
\end{pmatrix}$

Pre $c=\pm1$ je $h(A)=2$. Inak je $h(A)=3$

Spoiler:

1. $\begin{pmatrix}
c & c+1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & c & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & c+1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
0 & c+1 & 0
\end{pmatrix}\overset{c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & c+1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c-1& 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$
alebo
$\begin{pmatrix}
c & c+1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & c & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
c & c+1 & 1 \\
1 & c & 1
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\phantom{1}\\
-c.i\\
-i
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 2c+1 & -c+1 \\
0 & c+1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
-2.iii\\
\phantom{1}
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & -c+1 \\
0 & c+1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
-ii\\
\phantom{1}\\
+(c+1).ii
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & c \\
0 & -1 & -c+1 \\
0 & 0 & (c+1)(-c+1)
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
.(-1)\\
.\frac{1}{(c+1)(-c+1)}
\end{matrix}
\overset{c\ne 1, c\ne -1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1-c \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
+(c-1)iii\\
\phantom{1}
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$

2. $\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
-c & -c & 1 \\
1 & c &-1
\end{pmatrix}$

Pre $c=1$ je hodnosť $h(A)=2$. Inak je $h(A)=3$.

Spoiler:

2. $\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
-c & -c & 1 \\
1 & c &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
1-c& 0 & 0 \\
1 & c &-1
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & c &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & c+1 &-1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & c &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & c &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}
$

3. $\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
-c & 1 & c \\
1 & 1 &-1
\end{pmatrix}$

Pre $c=\pm1$ je $h(A)=2$. Inak je $h(A)=3$.

Spoiler:

3. $\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
-c & 1 & c \\
1 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
0 & c+1 & 0 \\
1 & 1 &-1
\end{pmatrix}\overset{c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & c+1 &-1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 0 &-1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c-1& 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 &-1
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$

4. $\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c+2 \\
-c & c+1 & 1 \\
c & 1 & 0
\end{pmatrix}$

Pre $c=-1$ je $h(A)=2$. Inak je $h(A)=3$.

Spoiler:

4. $\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c+2 \\
-c & c+1 & 1 \\
c & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c+1 & 0 & c+1 \\
-c & c+1 & 1 \\
c & 1 & 0
\end{pmatrix}\overset{c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
-c & c+1 & 1 \\
c & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
-c-1& c+1 & 0 \\
c & 1 & 0
\end{pmatrix}\overset{c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \\
c & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \\
c+1& 0 & 0
\end{pmatrix}\overset{c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

[Martin Sleziak]

Komentáre k niektorým riešeniam

Odpočítanie tej istej konštanty od všetkých prvkov v riadku nie je jedna z elementárnych riadkových operácií. (Samozrejme, ak jeden z riadkov matice je $(1,1,1)$, tak viem odpočítať jeho $c$-násobok. Ale úplne vo všeobecnosti pre ľubovoľnú maticu takéto niečo nemôžem robiť.)