Inverzná matica k hornej trojuholníkovej - cez ERO

[Martin Sleziak]

Z ľudí, čo skúsili bonusovú úlohu, sa väčšina odvolávala na postup pri výpočte inverznej matice cez elementárne riadkové operácie. Preto k tomuto spôsobu otvorím samostatný topic.

Základná vlastne ste sa snažili nejako zapísať to, že ak začneme s rozšírenou maticou tvaru
$$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
* & * & * & * & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & * & * & * & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)$$
a postupne sa dá dopracovať k~tvaru
$$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & * \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & * & * & * \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & *
\end{array}\right)$$

Stále si treba rozmyslieť, ako sa zdôvodní, že naozaj ako výsledok dostaneme hornú trojuholníkovú maticu.
Ak budem mať čas (a ak treba), tak sem skúsim napísať niečo k riešeniu.
A samozrejme, môžete sem pokojne napísať niečo k tejto úlohe aj vy.

Zatiaľ len dve poznámky:
* Takto sformulované sa to zdá byť dosť vhodné na dôkaz indukciou.
* Riadkové operácie sú to isté ako násobenie vhodnou maticou zľava. Teda dalo by sa na to ísť aj s použitím toho, že súčin horných trojuholníkových matíc je opäť horná trojuholníková.