Čo je to "ľavé" a "pravé" inverzné zobrazenie?

[Matej Martinka]

Mám otázku. V písomkách z algebry pre zimný semester 1. ročníka (asi pre iné štud. programy než 1mat) na internete som sa stretol v zadaniach viackrát s pojmami "ľavé inverzné zobraznie" a "pravé inverzné zobrazenie". Čo tieto pojmy znamenajú? Budeme ich potrebovať vedieť?

[Martin Sleziak]

Myslím, že na prednáške to nebolo.

Na cviku som síce príklad, kde sa to vyskytovalo, dal. Ale tiež sme sa k tomu nedostali.$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$
http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/01zobrazenia.pdf

• Nájdite príklad zobrazenia $\Zobr fXY$, pre ktoré existuje ľavé inverzné zobrazenie, ale neexistuje pravé inverzné zobrazenie. T.j. existuje $\Zobr gYX$ také, že $g\circ f=id_X$, ale neexistuje $\Zobr hYX$ také, že $f\circ h=id_Y$.
• Nájdite príklad zobrazenia $\Zobr fXY$, pre ktoré existuje pravé inverzné zobrazenie, ale neexistuje ľavé inverzné zobrazenie. T.j. existuje $\Zobr hYX$ také, že $f\circ h=id_Y$, ale neexistuje $\Zobr gYX$ také, že $g\circ f=id_X$.

Pridám linky na staršie posty:
viewtopic.php?t=486
viewtopic.php?t=68
Z nich by mohlo byť vidno, ako existencia jednostranného inverzu súvisí so surjektívnosťou resp. s injektívnosťou. Opäť sa to objavilo aj v sade príkladov z cvičení, aj keď som nepoužil názov ľavé/pravé inverzné zobrazenie:

Nech $\Zobr fXY$ je zobrazenie a $X\ne\emptyset$ (t.j. $X$ je neprázdna množina). Potom:
a) $f$ je injekcia práve vtedy, keď existuje $g$ také, že $g \circ f=id_X$.
b) $f$ je surjekcia práve vtedy, keď existuje $h$ také, že $f\circ h = id_Y$.
c) K zobrazeniu $f$ existuje inverzné zobrazenie práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. (Tým sme znovu dokázali tvrdenie hovoriace, že zobrazenie je bijektívne práve vtedy, keď k nemu existuje inverzné zobrazenie.)

Podľa toho, čo mám poznačené tu sme na cvičeniach z tohoto príkladu stihli časť a).

Re: "Budeme ich potrebovať vedieť?"
Keďže ten pojem nebol definovaný na prednáške, tak ak by sa vyskytol na skúške, tak určite bude aj zadefinovaný.
Dôkazy tvrdení, na ktoré som dal linky vyššie, sú podobné ako dôkaz o ekvivalencii medzi bijektívnosťou a existenciou inverzného zobrazenia. Čiže náročnosťou to asi nejako výrazne neprekračuje veci, ktoré by ste mali zvládnuť dokázať. (Ale zasa nie sú podľa všetky z nich mňa ani úplne ľahké.)
Skôr si však myslím, že sa budú vyskytovať veci z ďalších častí semestra - keďže vlastne jadro látky z tohoto predmetu je hlavne v tých veciach, ktoré začali od vektorových priestorov.