Identifikácia lineárneho izomorfizmu

[Matej Martinka]

Na internete som našiel v jednej písomke takéto zadanie:

Zistite, ktoré z nasledujúcich vektorových priestorov sú navzájom izomorfné:
a) Vektorový podpriestor generovaný vektormi $(3,1,2,4,6),(1,3,1,1,0),(2,-2,1,3,6),(-2,1,0,3,5)$
b) Vekt. priestor všetkých matíc stupňa 2 v tvare $\begin{pmatrix} a&2b\\ c&-a\\ \end{pmatrix}$
c) Vekt. priestor všetkých vektorov v tvare $\{(a,b,c,d,e)\}\subset \mathbb R^5$, kde $a+2c=d$

V zadaní nebolo spomenuté poriadne, nad akým poľom sú generované priestory. Moje riešenie sa opieralo o predpoklad, že všetky tri vektorové priestory sú definované nad poľom $\mathbb R$.
Moje riešenie:

Z prednášky vieme:

Nech $R$ je ľubovoľné pole. Každý $n$-rozmerný ($n\ge 1$) vektorový priestor nad poľom $R$ je lineárne izomorfný s $R^n$.

A keďže zloženie dvoch lineárnych izomorfizmov je lineárny izomorfizmus, všetky $n$-rozmerné priestory nad $R$ sú si navzájom izomorfné.
Dovedené do dôsledkov: pokiaľ dva vektorové priestory nad $R$ majú rovnaký počet bázových vektorov, sú izomorfné.
Zostávalo už len zistiť počet bázových vektorov jednotlivých v.p. zo zadania. Ak ho má nejaká dvojica rovnaký, je tam izomorfizmus, ak nie, tak v. priestory nie sú izomorfné.

a) Vložil som vektory do riadkov matice a upravoval ju cez ERO, aby som zachoval generovanú množinu a zjednodušil jej generátory. Vyšla mi stupňovitá matica $\begin{pmatrix}1&3&1&1&0\\ 0&-1&1&6&9\\ 0&0&-9&-47&-66\\ 0&0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$ s LN riadkovými vektormi a teda s hodnosťou 3.
Postup:

Spoiler:

$\begin{pmatrix}3&1&2&4&6\\ 1&3&1&1&0\\ 2&-2&1&3&6\\ -2&1&0&3&5\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&1&1&0\\ 3&1&2&4&6\\ 2&-2&1&3&6\\ -2&1&0&3&5\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&1&1&0\\ 0&-8&-1&1&6\\ 0&-8&-1&1&6\\ 0&-1&1&6&9\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&1&1&0\\ 0&-8&-1&1&6\\ 0&0&0&0&0\\ 0&-1&1&6&9\\ \end{pmatrix}\sim$
$\begin{pmatrix}1&3&1&1&0\\ 0&-1&1&6&9\\ 0&-8&-1&1&6\\ 0&0&0&0&0\\ \end{pmatrix}\sim$ (tu som si to trošku skomplikoval) $\begin{pmatrix}1&3&1&1&0\\ 0&-1&1&6&9\\ 0&-9&0&7&15\\ 0&0&0&0&0\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&1&1&0\\ 0&-1&1&6&9\\ 0&0&-9&-47&-66\\ 0&0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$

b) Bázu tohoto priestoru som získal postupným dosadením: $a=1,b=0,c=0$, potom $a=0,b=1, c=0$, a tak ďalej. Hneď som videl, že má prvky: $\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&2\\ 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\\\end{pmatrix}$, ale to som vlastne ani nepotreboval, pretože už z počtu premenných je vidieť, že priestor má dimenziu 3.
c) Množinu možno označiť aj ako $\{(a,b,c,a+2c,e)\}\subset \mathbb R^5$. Hneď je vidieť z počtu premenných, že počet je bázových vektorov je 4.

Výsledok: a) s b) sú izomorfné, a) s c) ani b) s c) nie sú.

Je tento môj postup správny alebo tam treba overiť ešte niečo?
Ďakujem za odpoveď.

[Martin Sleziak]

V zadaní nebolo spomenuté poriadne, nad akým poľom sú generované priestory. Moje riešenie sa opieralo o predpoklad, že všetky tri vektorové priestory sú definované nad poľom $\mathbb R$.

Toto je asi jediná rozumná interpretácia, ak má úloha dávať zmysel.

Využiť fakt, že dimenzia určuje vektorový priestor jednoznačne až na izomorfizmus, je presne správny smer, ktorým sa pri takejto úlohe ubrať.
Čiže ak zistíme dimenzie, tak už vieme, ktoré z priestorov sú izomorfné.

Nepáči sa mi však formulácia: "z počtu premenných je vidieť, že priestor má dimenziu..."

Takto sformulované to nie je pravda. Stačí sa pozrieť napríklad na podpriestor $S=\{(a+b+c,0,0,0); a,b,c\in\mathbb R\}$ priestoru $\mathbb R^4$, ktorý je očividne jednorozmerný. (Aj keď tipujem, že toto nie je úplne presne to, čo ste mali na mysli - ale tak ako ste to napísali by rovnaký argument tvrdil, že tento priestor je trojrozmerný - máme tu tri premenné.)
O trošičku menej naivný príklad by bol $T=\{(a-c,b-a,c-b); a,b,c\in\mathbb R\}$. (Ide o dvojrozmerný priestor - čo sa dá overiť nájdením bázy. Ale už aj z toho, že každý vektor z $T$ má nulový súčet súradníc, teda očividne $T\subseteq \{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y+z=0\}$, čo je dvojrozmerný priestor. Nie je príliš ťažké overiť, že platí dokonca rovnosť; ale už aj táto inklúzia nám stačí na to, aby sme videli, že $T$ nie je trojrozmerný.)

V úlohe b) si stačí uvedomiť, že tieto vektory sa dajú vyjadriť ako
$$a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
Vidíme, že sú to lineárne kombinácie troch lineárne nezávislých vektorov, teda máme trojprvkovú bázu a dimenzia je 3.

Podobne v c) by sme mohli nájsť bázu. Alebo môžeme jednoducho dostať dimenziu z toho, že máme podpriestor vyjadrený ako množinu riešení homogénnej sústavy a teda dimenzia je $n-h(A)=5-1=4$.

K úlohe a) znovu pripomeniem, že keď rátate niečo takéto doma, tak skontrolovať výsledok môžete v matematickom softvéri, ak máte nejaký nainštalovaný alebo aj v niečom, čo je dostupné online.
V tomto konkrétnom príklad môžete napríklad vyskúšať, aký redukovaný trojuhloníkový tvar nájde Wolframalpha z pôvodnej matice a z upravenej matice. (Mne vrátil rôzne výsledky, čiže by niekde mala byť chyba - ale je možné, že chyba vznikla iba pri prepisovaní výsledku.)