V podstate to hovorí niečo takéto. Ak máme dva riadky čísel také že každé číslo v prvom riadku je nesúdeliteľné s každým číslom v druhom riadku, tak aj súčinu sú nesúdeliteľné.Dokážte, že ak pre každé $i=1, \ldots,n $, $j=1, \ldots, m$,
$(a_i,b_j)=1$, tak $(a_1\ldots a_n, b_1\ldots b_m)=1$.
Napríklad:
$a_1=2$, $a_2=11$
$b_1=3$, $b_2=5$, $b_3=5$
Môžete ľahko skontrolovať, že ak si vyberiete jedno číslo z prvého riadku a jedno číslo z druhého riadku, tak sú naozaj nesúdeliteľné: $(2,3)=(2,5)=(11,3)=(11,5)=1$.
Tvrdenie, ktoré máme dokázať v tejto úlohe nám hovorí to, že potom budú nesúdeliteľné aj ich súčiny:
$a_1a_2=2\cdot11=22$
$b_1b_2b_3=3\cdot5\cdot5=75$
Naozaj platí $(22,75)=1$.
Ideme sa snažiť teda nejako ukázať všeobecne to, čo sme videli na tomto príklade
Budeme viackrát používať takýto fakt.
$$
(a,b)=1, (a,c)=1 \ \Rightarrow \ (a,bc)=1
\tag{1}
$$
Toto by ste asi mali poznať z prednášky - v texte na stránke prednášajúceho je to Veta 1.1.8(4).
Ďalej dokážeme
$$\newcommand{\Dots}[3]{#1_{#2}\ldots#1_{#3}}
(a,b_j)=1 \text{ pre }j=1,\ldots,m \ \Rightarrow \ (a,\Dots b1m)=1
\tag{2}
$$
indukciou vzhľadom na $m$.
Pre $m=1$ tam niet čo dokazovať.
Pre $m=2$ to je vlastne $(1)$.
Indukčný krok. Nech $(2)$ platí pre $m$, ukážeme, že platí pre $m+1$. Ak $(a,b_j)=1$ pre $j=1,\ldots,m+1$, tak $(a,\Dots b1m)=1$ (indukčný predpoklad) a súčasne $(a,b_{m+1})=1$. Podľa $(1)$ potom $(a,\Dots b1mb_{m+1})=1$.
Zostáva dokázať
$$
(a_i,b_j)=1 \text{ pre }i=1,\ldots,n,j=1,\ldots,m \ \Rightarrow \ (\Dots a1n,\Dots b1m)=1.
\tag{3}
$$
Môžeme opäť použiť indukciu vzhľadom na $n$ alebo jednoducho vymeniť úlohy $a_i$ a $b_j$ v $(2)$. (Pomocou $(2)$ dostaneme najprv, že $(\Dots b1m,a_i)=1$ pre všetky prípustné $i$ a z toho vyplýva, že $(\Dots b1m, \Dots a1n)=1$.)