Existencia suprém a infím

[Martin Sleziak]

Skopírujem sem dôkaz lemy 34 z G. Grätzer: Lattice Theory: Foundation. Asi tam to je napísanejšie jasnejšie ako som to hovoril na seminári.

Lemma 34. Let $P$ be an order in which $\bigwedge H$ exists for all $H\subseteq P$. Then $P$ is a complete lattice.

Proof. For $H\subseteq P$, let $K$ be the set of all upper bounds of $H$. By hypothesis, $\bigwedge K$ exists; set $a=\bigwedge K$. If $h\in H$, then $h\le k$ for all $k\in K$; therefore $h\le a$ and $a\in K$. Thus $a$ is the smallest member of $K$, that is, $a=\bigvee H$.

Na dnešnom seminári sme pracovali s Dedekindovsky úplnými (lineárnymi) usporiadaniami. Tam sme použili veľmi podobnú úvahu, akurát pre neprázdne ohraničené množiny. Robili sme to preto, aby bolo vidieť, že tieto dve podmienky sú pre lineárne usporiadanú množinu ekvivalentné:

• každá neprázdna zhora ohraničená množina má suprémum;
• každá neprázdna zdola ohraničená množina má infimum.

Ja som v dôkaze, ktorý som robil dnes na seminári, využil že robím s lineárnym usporiadaním. (Ten Grätzerov dôkaz je asi spravený elegantnejšie než ten, ktorý som sa snažil vymyslieť na seminári.)
Ak som nič neprehliadol, tak v takej podobe ako je to napísané v Grätzerovej knihe, by to prešlo pre ľubovoľné čiastočné usporiadania. (T.j. dôkaz ktorý som skopíroval by sa mal dať takmer bez zmeny zopakovať ak podmienku, že existujú supréma, obmedzíme z ľubovoľných množín iba na neprázdne zhora ohraničené. Ak začneme s takouto množinou $H$, tak aj množina $K$ jej horných ohraničení bude neprázdna. A je očividne aj zdola ohraničená.)

Napriek tomu, že to je pomerne jednoduchá vec, ja som si takéto otáčanie suprém a infím dosť dlho neuvedomoval, čo bol vlastne aj dôvod, prečo som sa na to pýtal tu: What is lattice with arbitrary suprema called? (A vlastne vtedy som sa dozvedel, že takto to funguje vo zväzoch a keď človek narazí na niečo podobné v inom kontexte, tak už nie je veľmi ťažké si to rozmyslieť, keď už niečo podobné raz videl.)

[Martin Sleziak]

Vlado Toma mi mailom napísal, že takéto niečo bolo aj v Kelley: General Topology. (V úvodnej kapitole Preliminaries.)

Je to v podstate to isté, čo som už písal vyššie, ale aj tak to sem skopírujem.

Dá sa to nájsť na s.14 (Tu je s.14 v staršom vydaní v GTM. Ale zdá sa, že to novšie vydanie čo spravil Dover je úplne presný reprint.)

A set $X$ is order-complete (relative to the ordering $<$) if and only if each non-void subset of X which has an upper bound has a supremum. It is a little surprising that this condition on upper bounds is entirely equivalent to the corresponding statement for lower bounds. That is:

9 Theorem. A set $X$ is order-complete relative to an ordering if and only if each non-void subset which has a lower bound has an infimum.

Proof.
Suppose that $X$ is order-complete and that $A$ is a non-void subset which has a lower bound. Let $B$ be the set of all lower bounds for $A$. Then $B$ is non-void and surely every member of the non-void set $A$ is an upper bound for $B$. Hence $B$ has a least upper bound, say, $b$. Then $b$ is less than or equal to each upper bound of $B$, and in particular $b$ is less than or equal to each member of $A$, and hence $b$ is a lower bound of $A$. On the other hand, $b$ is itself an upper bound of $B$; that is, $b$ is greater than or equal to each lower bound of $A$. Hence $b$ is a greatest lower bound of $A$. The converse proposition may be proved by the same sort of argument, or, directly, one may apply the result just proved to the relation inverse to $<$.