DU10 - LS 2016/17

[Martin Sleziak]

Ak stihnem, tak sa pokúsim opraviť d.ú.10 a napísať k nej nejaký komentár tak, aby ste si to ešte stihli pozrieť pred písomkou. (Napokon takéto príklady sa môžu objaviť aj na písomke.)

Zatiaľ sem skúsim aspoň dať linky na komentár k tej istej úlohe z minulých rokov:
viewtopic.php?t=548
viewtopic.php?t=386
viewtopic.php?t=134

EDIT:
Ešte som pridal sem niečo k rovnosti, s ktorou boli problémy vo viacerých odovzdaných úlohách: viewtopic.php?t=1074

[Martin Sleziak]

V jednej z odovzdaných d.ú. som našiel niečo taktéto:

$\aleph_0^{\mathfrak c} = \aleph_0^{\aleph_0^{\aleph_0}} = \aleph_0^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = \dots = \mathfrak c$
$2^{\mathfrak c} = 2^{\aleph_0^{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c$

(Nie celkom presne toto - nejaké časti odvodenia, ktoré tam som bolo, vynechal.)

Malo by byť jasné, že to nemôže byť správne. Napríklad v druhom riadku sa tvrdí, že $2^{\mathfrak c}=\mathfrak c$ (keď sa pozriete na začiatok a koniec rovnosti), ale z Cantorovej vety vieme, že $\mathfrak c<2^{\mathfrak c}$. (Takéto niečo platí pre každé kardinálne číslo.)

Môžete sa zamyslieť nad tým v ktorom kroku je problém.

Spoiler:

V oboch prípadoch sa vyskytla nesprávna úprava, keď výraz $a^{\aleph_0^{\aleph_0}}$ bol nahradený výrazom $a^{\aleph_0\cdot\aleph_0}$. (V prvom prípade pre $a=\aleph_0$, v druhom pre $a=2$.)
Azda jasnejšie prečo to nie je správne, bude keď zvýrazním uzátvorkovaním čo vlastne rátame:
$$2^{\aleph_0^{\aleph_0}} = 2^{\left(\aleph_0^{\aleph_0}\right)}.$$