Dá sa skontrolovať, že všetky zadané body ležia v rovine $x_1+x_2+2x_3-5=0$. Teda netvoria barycentrickú súradnicovú sústavu. Bez toho, aby sme uhádli túto rovinu to môžeme riešiť niektorým z dvoch štandardných postupov. (Poznamenám, že tým, či body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu vlastne overíme aj to, či ležia v tej istej rovine, resp. všeobecne v $n$-rozmernom priestore či ležia v tej istej nadrovine.)a) Napíšte definíciu barycentrickej súradnicovej sústavy.
b) Zistite, či body $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu v $\mathbb R^3$, ak
$A_0=(1,2,1)$;
$A_1=(3,0,1)$;
$A_2=(0,1,2)$;
$A_3=(1,1,\frac32)$.
Môžeme overiť, či $x_0A_0+x_1A_1+x_2A_2+x_3A_3=P$, $x_0+x_1+x_2+x_3=1$ má pre každý bod práve jedno riešenie.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 0 & 1 \\
2 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & \frac32
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-1 & 0 \\
0 &-2 &-1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & \frac12
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-2 &-1 \\
0 & 0 & 2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-2 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že matica tejto sústavy nie je regulárna a teda body netvoria barycentrickú súradnicovú sústavu.
Prípadne môžeme ešte dopočítať redukovaný trojuholníkový tvar - ak chceme pre naše úpravy urobiť aspoň čiastočnú skúšku správnosti.
Spoiler:
Iná možnosť je nájsť vektory $\overrightarrow{A_0A_i}$ a zistiť, či sú lineárne nezávislé.
$\overrightarrow{A_0A_1}=(2,-2,0)$
$\overrightarrow{A_0A_2}=(-1,-1,1)$
$\overrightarrow{A_0A_3}=(0,-1,\frac12)$
$\begin{pmatrix}
2 &-2 & 0 \\
-1 &-1 & 1 \\
0 &-1 & \frac12
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
-1 &-1 & 1 \\
0 &-2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 &-2 & 1 \\
0 &-2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že tieto vektory sú lineárne závislé a teda zadané body netvoria barycentrickú súradnicovú sústavu.
*****
Poznamenám, že veľa z vás nenapísalo definíciu barycentrickej súradnicovej sústavy alebo ju napísalo nesprávne prípadne dosť nejasne. Ak ste vedeli úlohu aspoň vypočítať, tak za definíciu som body nestŕhal. Ale je rozumné myslieť na to, že keď pôjdete na skúšku, tak definície základných pojmov by ste mali vedieť.