msleziak.com

a) Napíšte definíciu barycentrickej súradnicovej sústavy.
b) Zistite, či body $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu v $\mathbb R^3$, ak
$A_0=(1,2,1)$;
$A_1=(3,0,1)$;
$A_2=(0,1,2)$;
$A_3=(1,1,\frac32)$.

Dá sa skontrolovať, že všetky zadané body ležia v rovine $x_1+x_2+2x_3-5=0$. Teda netvoria barycentrickú súradnicovú sústavu. Bez toho, aby sme uhádli túto rovinu to môžeme riešiť niektorým z dvoch štandardných postupov. (Poznamenám, že tým, či body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu vlastne overíme aj to, či ležia v tej istej rovine, resp. všeobecne v $n$-rozmernom priestore či ležia v tej istej nadrovine.)

Môžeme overiť, či $x_0A_0+x_1A_1+x_2A_2+x_3A_3=P$, $x_0+x_1+x_2+x_3=1$ má pre každý bod práve jedno riešenie.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 0 & 1 \\
2 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & \frac32
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-1 & 0 \\
0 &-2 &-1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & \frac12
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-2 &-1 \\
0 & 0 & 2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-2 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že matica tejto sústavy nie je regulárna a teda body netvoria barycentrickú súradnicovú sústavu.

Prípadne môžeme ešte dopočítať redukovaný trojuholníkový tvar - ak chceme pre naše úpravy urobiť aspoň čiastočnú skúšku správnosti. *****

Iná možnosť je nájsť vektory $\overrightarrow{A_0A_i}$ a zistiť, či sú lineárne nezávislé.
$\overrightarrow{A_0A_1}=(2,-2,0)$
$\overrightarrow{A_0A_2}=(-1,-1,1)$
$\overrightarrow{A_0A_3}=(0,-1,\frac12)$

$\begin{pmatrix}
2 &-2 & 0 \\
-1 &-1 & 1 \\
0 &-1 & \frac12
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
-1 &-1 & 1 \\
0 &-2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 &-2 & 1 \\
0 &-2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

Zistili sme, že tieto vektory sú lineárne závislé a teda zadané body netvoria barycentrickú súradnicovú sústavu.

*****

Poznamenám, že veľa z vás nenapísalo definíciu barycentrickej súradnicovej sústavy alebo ju napísalo nesprávne prípadne dosť nejasne. Ak ste vedeli úlohu aspoň vypočítať, tak za definíciu som body nestŕhal. Ale je rozumné myslieť na to, že keď pôjdete na skúšku, tak definície základných pojmov by ste mali vedieť.

K druhej úlohe z písomky nebudem na fórum písať riešenia - dá sa nájsť tu, iba sa zmenili čísla (sú zadané iné dva body): viewtopic.php?t=632

Ak sa chcete pozrieť na to, aké príklady boli na písomkách po minulé roky, tak ich nájdete tu:
viewtopic.php?t=631
viewtopic.php?t=632
viewtopic.php?t=633
viewtopic.php?t=634
viewtopic.php?t=877
viewtopic.php?t=878
viewtopic.php?t=879
viewtopic.php?t=880

Martin Sleziak wrote: ↑Tue Apr 18, 2017 2:15 pm Môžeme overiť, či $x_0A_0+x_1A_1+x_2A_2+x_3A_3=P$, $x_0+x_1+x_2+x_3=1$ má pre každý bod práve jedno riešenie.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 0 & 1 \\
2 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & \frac32
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-1 & 0 \\
0 &-2 &-1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & \frac12
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-2 &-1 \\
0 & 0 & 2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-2 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že matica tejto sústavy nie je regulárna a teda body netvoria barycentrickú súradnicovú sústavu.

Ešte len doplním, že by mohlo z tohoto výpočtu vidieť, že dva možné postupy navzájom spolu súvisia.
Všimnite si, že po prvom kroku sme vynulovali veci v prvom stĺpci okrem vedúcej jednotky v prvom riadku.
Zostala nám tam podmatica $3\times3$, ktorá vyzerá takto:
$$\begin{pmatrix}
2 &-1 & 0 \\
-2 &-1 &-1 \\
0 & 1 & \frac12
\end{pmatrix}.$$
Všimnime si, že stĺpce tejto matice sú presne vektory $\overrightarrow{A_0A_1}=(2,-2,0)$, $\overrightarrow{A_0A_2}=(-1,-1,1)$, $\overrightarrow{A_0A_3}=(0,-1,\frac12)$.
Takže vidíme, že celá matica je regulárna práve vtedy, keď tieto vektory sú lineárne nezávislé.