Kanonický tvar matice $3\times3$ s nulovou stopou a determinantom

[Martin Sleziak]

Úloha: Vieme, že $A$ je nenulová reálna symetrická matica rozmerov $3\times 3$, ktorá má nulovú stopu aj determinant, t.j. $\det(A)=\operatorname{Tr}(A)=0$. Zistite, ako vyzerá kanonický tvar príslušnej kvadratickej formy.

Takáto úloha sa vlastne vyskytla na opravnej písomke - aj keď tam bola zadaná matica s konkrétnymi číslami. Teda sa to dalo rátať úplne štandardne (doplnenie na štvorec alebo riadkové/stĺpcové úpravy.)
Môžete sa zamyslieť nad tým, či vlastne z týchto údajov sa kanonický tvar nedá vyčítať aj bez počítania, len z týchto dvoch vlastností zadanej matice. (Je tam dôležitý aj rozmer matice - pre matice väčších rozmerov by to takto jednoducho nešlo.)

Hint 1:

Spoiler:

S akou maticou je ortogonálne podobná $A$?

Hint 2:

Spoiler:

Vieme, že $A$ má reálne vlastné čísla $\lambda_{1,2,3}$. (Veta o hlavných osiach.)
Čo nám o vlastných číslach hovorí fakt, že determinant je nulový?
Čo nám o vlastných číslach hovorí fakt, že stopa je nulová?

Riešenie:

Spoiler:

Vieme, že $A$ je ortogonálne podobná s maticou
$$
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3
\end{pmatrix}
$$
kde $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\in\mathbb R$ sú vlastné čísla matice $A$.

Pretože $A$ nie je regulárna, nula je vlastným číslom. BÚNV nech napríklad $\lambda_2=0$.

Navyše vieme aj
$$\operatorname{Tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\lambda_1+\lambda_3=0$$
a teda $\lambda_3=-\lambda_1$.

Zistili sme zatiaľ, že $A$ je ortogonálne podobná s maticou tvaru
$$D=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-\lambda_1
\end{pmatrix}.$$
Na tomto mieste si môžeme tiež uvedomiť, že $\lambda_1\ne0$. Ak by totiž $A$ bola podobná s nulovou maticou, tak máme aj $A=0$.

Samozrejme, ortogonálna podobnosť nám súčasne hovorí, že tieto matice sú kongruentné. Máme teda $PAP^T=D=\operatorname{diag}(\lambda_1,0,-\lambda_1)$.

Je už pomerne ľahké túto maticu doupravovať na tvar $\operatorname{diag}(1,0,-1)$.
Toto je práve kanonický tvar, ktorý sme chceli nájsť.