Processing math: 100%
Page 1 of 1

Newtonov integrál

Posted: Sun Oct 01, 2017 5:26 pm
by Martin Sleziak
Na minulom seminári V. Toma hovoril o Newotonovom integrále, ktorý bol zavedený zhruba takto:

Definícia. Nech f:[a,b]R. Ak existuje F:[a,b]R také, že F(x)=f(x) pre všetky x[a,b]N, kde N je nejaká spočítateľná množina, tak definujeme
baf(x)dx=F(b)F(a).


Pre spojité F sa dalo ukázať, že takýto integrál je jednoznačne určený (ak existuje). Takýto integrál (s podmienkou že F je spojitá) sme nazvali Newtonov integrál.

Poznamenám tiež, že ak by sme zobrali namiesto toho N množinu miery nula, tak po pridaní podmienky, že F sa na N nesmie "prudko" meniť dostaneme charakterizáciu K-H integrálu, ktorú sme spomínali tu: viewtopic.php?t=1097

Na seminári referujúci spomenul že ide podľa knihy Lyashko, Boyarchuk, Gai, Kalaida: Matematicheski analiz 1 (Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, А. Ф. Калайда: Математический анализ Ч. 1 : Учебник для математических специальностей университетов). Odkaz na tento text našiel v knihe od Geru a Ďurikoviča.

Ak nájdeme nejaké ďalšie referencie na tento typ integrálu (t.j. definovaný pomocou funkcie "primitívnej až na spočítateľnú množinu") tak by sme ich mohli pozbierať tu.

Re: Newtonov integrál

Posted: Sun Oct 01, 2017 5:35 pm
by Martin Sleziak
V texte Brian S. Thomson: The Calculus integral som našiel v kapitole 4.2.1 Calculus integral [countable set version] niečo takéto:
Our original calculus integral was defined in way that was entirely dependent on the simple fact that continuous functions that have a zero derivative at all but a finite number of points must be constant. We now know that that continuous functions that have a zero derivative at all but a countable number of points must also be constant. Thus there is no reason not to extend the calculus integral to allow a countable exceptional set.
Potom nasleduje definícia integrálu skoro rovnaká, ako je uvedená vyššie. (Líši sa požiadavkou, že F je rovnomerne spojitá. Ak sa zaujímame iba o uzavreté intervaly, tak to nič nezmení.) Autor ďalej píše:
There is currently at least one analysis textbook available that follows exactly this program, replacing the Riemann integral by the Newton integral (with countably many exceptions):

Mathematical Analysis I, by Elias Zakon, ISBN 1-931705-02-X, published by The Trillia Group, 2004. 355+xii pages,
This can be downloaded freely from the web site http://www.trillia.com/zakon-analysisI.html
Iné miesto, kde som našiel niečo o integrále definovaným takýmto spôsobom, je táto otázka na MathOverflow: Defining definite integral using indefinite integral.