Pole $\mathbb Q(\sqrt2)$ a analógia s komplexnými číslami

[Martin Sleziak]

V tomto príspevku sme si ukázali, že množina $\mathbb Q(\sqrt 2)=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole.

Skúsme sa pozrieť na tento problém trochu inak - predstavme si, že by sme nevedeli nič o reálnych číslach a poznali iba racionálne. (Alebo, že by sme mali z nejakého dôvodu povolené pri riešení používať iba to, že racionálne čísla tvoria pole.)

Pozrime sa teda na to, kde sme využili veci, ktoré vieme o reálnych číslach. Prvýkrát to bolo už pri definícii - povedali sme, že sčitovanie a násobenie je rovnaké ako pre reálne čísla. Môžeme to však brať tak, že $(a+b\sqrt2)+(a'+b'\sqrt2)=(a+a')+(b+b')\sqrt2$ a $(a+b\sqrt2)(a'+b'\sqrt2)=(aa'+2bb')+(ab'+ba')\sqrt2$ berieme ako zadanie predpisu sčitovania a násobenia. (Pričom symbol $\sqrt2$ teraz chápeme nie ako reálne číslo ale ako nejaký nový formálny symbol, ktorý sme pridali k racionálnym číslam. Jediná dôležitá vlastnosť je, že $a+b\sqrt2=a'+b'\sqrt2$ $\Leftrightarrow$ $a=a' \land b=b'$. Kľudne by sme mohli používať ako prvky usporiadané dvojice $(a,b)\in\mathbb Q\times\mathbb Q$; zvolili sme iný zápis, pretože na taký zápis sme zvyknutí, je pre nás prirodzenejší.)

Ďalej sme sa na vlastnosti reálnych čísel odvolali pri distributívnosti, asociatívnosti a komutatívnosti - pri vlastnostiach, ktoré obsahujú len jeden všeobecný kvantifikátor nasledujúci rovnicou. Ak by sme mali zakázané využívať to, čo vieme o reálnych číslach, tak by sme s tým mali viac práce, ale tiež by sme tieto vlastnosti vedeli overiť. Napríklad pri asociatívnosti násobenia by to znamenalo prepísať výrazy
$(a_1+b_1\sqrt2)[(a_2+b_2\sqrt2)(a_3+b_3\sqrt2)]$ a $[(a_1+b_1\sqrt2)(a_2+b_2\sqrt2)](a_3+b_3\sqrt2)$ pomocou definície násobenia - a ak sa nepomýlime pri úprave, tak by nám malo vyjsť z oboch výrazov to isté.

*******************

A teraz už konečne k tomu v čom spočíva podobnosť tejto úlohy na konštrukciu komplexných čísel. (Aspoň v tej podobe, ako sme ich zaviedli my.)

Na pole $\mathbb Q(\sqrt 2)$ sa môžeme pozerať takto. V poli $\mathbb Q$ nemá rovnica $x^2=2$ riešenie. Preto sme k tomuto poľu pridali nový symbol $\sqrt2$ a dodefinovali sčitovanie a násobenie vcelku prirodzeným spôsobom. Dostali sme tak nové pole, kde už táto rovnica riešenie má.

Pri konštrukcii komplexných čísel sme robili to isté s poľom $\mathbb R$ a rovnicou $x^2=-1$.

(S podobnými vecami by ste sa mali stretnúť na algebre v druhom ročníku, keď sa budete učiť o konečných rozšíreniach polí.)