Banach-Steinhausovu vetu sme dokázali zo Zabreikovej lemy. Spomenuli sme, že pôvodný Hahnov dôkaz bol založený na argumente typu "gliding hump". Na dnešnom seminári snáď dokončím takýto dôkaz urobený tak ako je v Megginson: An Introduction to Banach Space Theory (GTM 183) v Exercise 1.76. Iná kniha, kde je tiež dôkaz takéhoto typu, je Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators, paragraf 4.4.3.
V článku Alan D. Sokal: A Really Simple Elementary Proof of the Uniform Boundedness Theorem, The American Mathematical Monthly, Vol. 118, No. 5 (May 2011), pp. 450-452 (https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.118.05.450, https://arxiv.org/abs/1005.1585), sa dá nájsť veľmi pekný dôkaz, ktorý je síce v podstate podobný, ale niektoré kroky výrazne zjednoduší. Základom je lema, kde sa ukáže, že ak si zoberiem ľubovoľnú guľu s polomerom $r$ (t.j. stred môže byť ľubovoľný, nie iba 0), tak pre body z nej sa s hodnotami $\|Tx\|$ viem dostať nad $\|T\|r$, alebo aspoň ľubovoľne blízko: $$\sup_{x'\in B(x,r)} \|T(x')\| \ge \|T\|r.$$
Banach-Steinhaus cez gliding hump
Moderator: Martin Sleziak