Môže sa robiť dôkaz odzadu?

[Martin Sleziak]

Po jednej z prednášok som dostal otázku, či je v poriadku dôkaz, kde začneme s dokazovanou rovnosťou a upravujeme ju kým nedostaneme rovnosť, ktorá očividne platí. (Táto otázka padla v súvislosti s dôkazmi indukciou, ale v podstate sa o niečom takomto dá uvažovať všeobecne pri dôkazoch rovností či nerovností.)

Skúsim sem dať nejaké príklady, aby bolo jasné, o čom vlastne je reč.

Príklad 1. Ideme dokazovať rovnosť $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$$

\begin{align*}
(a^2+b^2)(c^2+d^2)&=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\
a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 &= (ac)^2-2acbd+(bd)^2 + (ad)^2+2adbc+(bc)^2\\
0 &= -2abcd+2abcd\\
0 &= 0
\end{align*}

Príklad 2. Skúsme pridať aspoň jeden dôkaz nerovnosti. Budem dokazovať, že pre $a,b\in\mathbb R$ platí
$$\frac{a^2+b^2}2 \ge ab.$$
(Čo je v podstate trochu inak napísaný veľmi jednoduchý prípad AM-GM nerovnosti - keď máme iba dve premenné.)

\begin{align*}
\frac{a^2+b^2}2 &\ge ab\\
a^2+b^2 &\ge 2ab\\
a^2-2ab+b^2 &\ge 0\\
(a-b)^2 &\ge 0
\end{align*}
Nerovnosť, ktorú sme dostali na konci, určite platí pre ľubovoľné reálne čísla $a$, $b$.

Príklad 3. A možno aspoň jeden dôkaz indukciou, keďže pôvodne otázka padla v súvislosti s takýmto dôkazom.

Dokazujme rovnosť
$$\sum\limits_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}4.$$
Táto rovnosť sa dá celkom elegantne zapísať aj ako $\sum\limits_{k=1}^n k^3=\left(\sum\limits_{k=1}^n k\right)^2$.

Pozrime sa len na rovnosť, ktorú chceme overiť v indukčnom kroku.

\begin{align*}
\frac{n^2(n+1)^2}4 + (n+1)^3 &= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}4\\
\frac{n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3}4 &= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}4\\
\frac{[n^2+4(n+1)](n+1)^2}4 &= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}4\\
\frac{(n^2+4n+4n)(n+1)^2}4 &= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}4\\
\frac{(n+2)^2(n+1)^2}4 &= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}4
\end{align*}

[Martin Sleziak]

Tu sa dajú prečítať celkom rozumné veci o tom, ako sa dá pozerať na dôkaz písaný v takomto poradí: Is it technically incorrect to write proofs forward?

Skúsim napísať niečo aj ja.

Vlastne stručná odpoveď je, že ak skontrolujeme, či všetky použité úpravy sú ekvivalentné, tak by bol takýto dôkaz ok. (Dokonca by stačilo menej - aby pre každý riadok platilo, že vyplýva z podmienky napísanej o riadok nižšie. Tá rovnosť, s ktorou sme začali, je totiž tá ktorej správnosť chceme odvodiť a na konci máme rovnosť, ktorej platnosť poznáme.)
Stále by ale nebolo zlé explicitne napísať, že úpravy sú ekvivalentné. (Aby bolo človeku, ktorý číta dôkaz jasné, že to tak skutočne je.)

Dá sa na to pozerať z rôznych pohľadov.

Správnosť dôkazu
Je takýto dôkaz vôbec správny? Nemohli by sme odvodiť niečo nepravdivé?

Tu presne platí komentár napísaný vyššie. Ak sme sa skutočne presvedčili, že úpravy sú ekvivalentné, a ak sme to k dôkazu aj explicitne napísali, tak v princípe nie je problém.

Treba si však dať pozor na to, či to je pravda - či sme naozaj používali ekvivalentné úpravy. V opačnom prípade by sme mohli odvodiť nejaký výsledok, ktorý v skutočnosti neplatí. (Práve na tom, že niektorý krok odvodenia je problematický, sú typicky založené "dôkazy", kde zdanlivo správnym postupom odvodíte $0=1$ alebo $1=2$. Veľa takýchto dôkazov ste určite videli na webe.)

Prezentácia dôkazu
Síce takéto úpravy sú často rozumný spôsob ako sa na dôkaz dá prísť, často sa dôkaz dá potom prepísať inak tak aby vyzeral lepšie a bol zrozumiteľnejší. Čiže ak ten dôkaz chcete potom dať čítať niekomu inému a máte na to čas, oplatí sa zamyslieť nad tým, či ho neviete zapísať nejako rozumnejšie. (Asi všetky tri dôkazy, ktoré som napísal vyššie, by vyzerali lepšie keby som nerobil paralelne úpravy oboch strán, ale začal s jednou z nich a upravoval ju až kým sa nedostanem k požadovanému tvaru. Do istej miery je to vec vkusu.)

Z pohľadu študenta
Povedzme, že dôkaz nejakého tvrdenia píšete pre seba - cieľom je, že sa chcete vy sami presvedčiť, že toto tvrdenie skutočne platí.
Potom naozaj nie je dôležité, či je dôkaz elegantne napísaný a či ste tam vypísali všetky detaily - ak vám je niektorý krok dôkazu na prvý pohľad jasný, pre seba ho nemusíte detailne vypisovať (ale na druhej strane si treba dať pozor aj na to, aby ste neprehliadli nejaký dôležitý detail).
Takže v takomto prípade je takýto dôkaz úplne v poriadku. (Dôležité je to, či ste si naozaj uvedomili, či sú použité úpravy ekvivalentné.)

Z pohľadu učiteľa
Teraz si predstavte, že ste v pozícii človeka, ktorý dostane dôkaz a má ho skontrolovať - t.j. posúdiť či je správny. (Prípadne zaň dať alebo nedať nejaké body.)

Prvá otázka je posúdiť či dôkaz je správny. Tu to trochu závisí na dobrej vôli opravujúceho. Môže si povedať, že aj keď to tam nie je napísané, tak autor dôkazu si uvedomil že použité úpravy sú ekvivalentné a v takom prípade uzná dôkaz ako správny. Alebo môže byť prísny a posudzovať naozaj iba to, čo je napísaný na papieri - a v takom prípade asi dôkaz posúdi ako nesprávny. (Ak tam nie je explicitne uvedené, že sa smer dá aj otočiť a dôkaz čítať "od konca".)

Ďalšia vec je, že typicky by učiteľ mal dbať na to, aby študenta nenaučil používať nejaké nesprávne argumenty. Takže aj ak dôkaz uzná za správny, asi by mal pridať komentár o tom, že je dôležité či použité úpravy boli ekvivalentné.

A tretia vec, ktorú sa typicky učitelia snažia naučiť na úlohách, kde sa odovzdávajú odvodenia alebo dôkazy, je aj to aby ste sa naučili správne a presne vyjadrovať. Teda by bolo fajn aby odovzdané dôkazy boli zrozumiteľné a jasné. Tu to je možno sčasti vec vkusu, ale dôkaz písaný "lineárne" je asi zrozumiteľnejší ako dôkaz písaný "paralelne". Na druhej strane, pri dôkaze písanom paralelne môže byť niekedy lepšie vidno, ako ste na dané odvodenie prišli. Čiže to môžno závisí aj od toho, čo vlastne chcete odkomunikovať. (Či je hlavným cieľom ukázať, ako sa dá na takéto odvodenie prísť; alebo skôr napísať dôkaz tak, aby každému kto si ho prečíta boli jasné všetky kroky dôkazu.)