Úloha 9.2. stopa matice
Posted: Mon Dec 11, 2017 10:37 pm
Úloha 9.2. Pre štvorcovú maticu C typu n×n budeme výraz $$ Tr(C)= \sum_{k=1}^n C_{nn} $$ nazývať stopa matice C. (T.j. stopa matice je súčet prvkov, ktoré sú na diagonále.)
Ukážte, že ak A, B sú matice typu n×n nad poľom F, tak platia rovnosti Tr(A)=Tr(A)^T a Tr(AB)=Tr(BA).
Ukážte, že ak A, B sú matice typu n×n nad poľom F, tak platia rovnosti Tr(A)=Tr(A)^T a Tr(AB)=Tr(BA).
- najprv dokážeme prvú vlastnosť: $$ Tr(A)=Tr(A)^T $$
- pre prvky v transponovanej matice platí : $$ C_{i,j}=C_{j,i}^T $$
- ak i=j : $$ C_{i,i}=C_{i,i}^T $$
- čiže prvky na diogonále transponovanej matici sú tie isté ako prvky pôvodnej matice, čiže ich súčet je rovnaký.
- druhá vlastnosť : $$ Tr(AB)=Tr(BA) $$
- vyjadríme si prvky na diagonále matice AB = C : $$ C_{i,i}=A_{i,1}*B_{1,i}+ A_{i,2}*B_{2,i} + ... A_{i,n}*B_{n,i}$$
$$ C_{i,i}=\sum_{k=1}^n A_{i,k}*B_{k,i}$$ - čiže Tr(AB) je :
$$ Tr(AB)=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n A_{i,k}*B_{k,i}$$
$$ Tr(BA)=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n B_{i,k}*A_{k,i}$$ - z tohto je celkom jednoznačne vidno, že Tr(AB)=Tr(BA) ... (napríklad tieto dve vlastnosti to dokazujú 1. ak nejaký súčin patrí do súčtu Tr(AB), tak určite patrí aj do Tr(BA) (analogický to platí aj naopak), 2. ak sa nejaký súčin vyskytuje v Tr(AB), tak sa tam vyskytuje maximálne raz)
- vyjadríme si prvky na diagonále matice AB = C : $$ C_{i,i}=A_{i,1}*B_{1,i}+ A_{i,2}*B_{2,i} + ... A_{i,n}*B_{n,i}$$