Príklady, keď $\|\cdot\|_\varphi$ nie je lsc

[Martin Sleziak]

V súvislosti s lsc submierami sme viackrát pracovali s funkciou
$$\|A\|_\varphi = \lim_{n\to\infty} \varphi(A\setminus[1,n]).$$

Videli sme, že ak $\varphi$ je lsc submiera, tak $\|\cdot\|_\varphi$ je submiera, ale nemusí byť zdola polospojitá.

Jednoduchý príklad bol $$\varphi(A)=|A|.$$
Ľahko sa overí, že je to lsc submiera.

Súčasne máme $$
\|A\|_\varphi=
\begin{cases}
0 & \text{if $A$ is finite}, \\
+\infty & \text{if $A$ is infinite}.
\end{cases}
$$
Táto funkcia je submiera, nie je však zdola polospojitá.

[Martin Sleziak]

Na seminári padla otázka, či by sme vedeli nájsť kontrapríklad, kde by hodnoty $\varphi(A)$ ležali v intervale $[0,1]$. (T.j. chceme sa vyhnúť nekonečným hodnotám, chceme aby to celé bolo ohraničené.)

Jedna možnosť, ako by sa to dalo, by mohla byť modifikácia predošlého príkladu.
Zoberme si nejakú funkciu $f\colon [0,+\infty]\to[0,+\infty]$.
Ak máme submieru $\varphi$, tak ju môžeme zložiť s $f$
$$f\circ\varphi(A)=f(\varphi(A)).$$
Poďme sa pozrieť, na to, že pre dosť pekné $f$ dostaneme takto zo sumiery znovu submieru, z lsc submiery znovu lsc submieru.

Skúsme zobrať funkciu $f$ takú, že:

• $f$ je spojitá;
• $f(0)=0$;
• $f$ je rastúca, t.j. $x\lt y$ implikuje $f(x)\lt f(y)$;
• $f$ je subaditívna, $f(x+y)\le f(x)+f(y)$

Takýchto funkcií vieme nájsť veľa, špeciálne vieme, že každá konkávna funkcia s vlastnosťou $f(0)=0$ je aj subaditívna: viewtopic.php?t=1112 (To že sme tu pridali možnosť $+\infty$ veci priveľmi neovplyvní; hlavne keď sa pozeráme iba na neklesajúce funkcie.)

Nie je teda problém nájsť nejaké takéto funkcie aj tak, aby obor hodnôt bol $[0,1]$. (Napríklad preškálovaný $\arctan$; alebo $f(x)=\frac{x}{1+x}$)

Ak $\varphi$ je submiera, tak aj $f\circ\varphi$ je submiera; to zabezpečia podmienky $f(0)=0$, monotónosť a subaditívnosť.
\begin{gather*}
f(\varphi(0))=f(0)=0\\
A\subseteq B \Rightarrow \varphi(A)\subseteq\varphi(B) \Rightarrow f(\varphi(A))\subseteq f(\varphi(B))\\
f(\varphi(A\cup B)) \le f(\varphi(A)+\varphi(B)) \le f(\varphi(A)) + f(\varphi(B))
\end{gather*}

Ak $\varphi$ je lsc submiera, tak aj $f\circ\varphi$ je lsc submiera. Stačí si uvedomiť, že sme zložili polospojitú funkciu s rastúcou spojitou funkciou.

Takisto zo spojitosti vidíme, že
$$\|A\|_{f\circ\varphi} = f(\|A\|_\varphi)$$
Máme totiž $\|A\|_\varphi = \lim_{n\to\infty} \varphi(A\setminus[1,n])$, takže pre spojitú funkciu $f$ máme
$$\|A\|_{f\circ\varphi} = \lim_{n\to\infty} f(\varphi(A\setminus[1,n]))
= f\left(\lim_{n\to\infty} \varphi(A\setminus[1,n])\right) = f(\|A\|_\varphi).$$

Teda vhodnou voľbou funkcie $f$ môžeme predošlý príklad zmeniť tak, aby sme nemali hodnoty $0$ a $+\infty$ ale $0$ a $1$.
$$
\|A\|_\varphi=
\begin{cases}
0 & \text{ak $A$ je konečná}, \\
1 & \text{ak $A$ je nekonečná}.
\end{cases}
$$