Riešenie.
Body na priamke $AB$ môžeme vyjadriť ako barycentrické kombinácie bodov $A$ a $B$ resp. parametricky pomocou bodu a a vektora $\overrightarrow{AB}$. To isté pre $CD$.
Dostaneme tak, že bod $P$ sa dá vyjadriť ako $(1-t)A+tB=(1-s)C+sD$ resp. $A+t\overrightarrow{AB}=C+\overrightarrow{CD}$.
Už stačí vyriešiť sústavu:
\begin{align*}
-1+3t&=2-4s\\
4-3t&=2s\\
7-3t&=2
\end{align*}
resp.
\begin{align*}
3t+4s&=3\\
3t+2s&=4\\
3t&=5
\end{align*}
a riešením tejto sústavy je $t=\frac53$, $s=-\frac12$.
Dosadením hodnôt pre $t$ a $s$ dostaneme bod ležiaci na oboch priamkach.
Prienik je bod
$$P=-\frac23A+\frac53B=\frac32C-\frac12D.$$
Skutočne
\begin{align*}
-\frac23(-1,4,7)+\frac53(2,1,4)&=(4,-1,2)\\
\frac32(2,0,2)-\frac12(-2,2,2)&=(4,-1,2)
\end{align*}
Všimnime si, že sme súčasne dostali aj vyjadrenie nášho bodu v zadanom barycentrickom súradnicovom systéme ako
$$P=-\frac23A+\frac53B+0C+0E,$$
teda jeho barycentrické súradnice sú $\underline{\underline{(-\frac23,\frac53,0,0)}}$
Vlastne sme teda súčasne našli aj bod $P$ aj jeho vyjadrenie v tvare barycentrickej kombinácie. (Dokonca sme to mohli robiť tak, že by sme našli iba barycentrické vyjadrenie - ale oplatí sa vyrátať aj súradnice bodu $P$, ako skúšku správnosti.)
Samozrejme, ak ste pre tento bod hľadali vyjadrenie v tvare barycentrickej kombinácie štandardným spôsobom, tak ste dospeli k rovnakému výsledku.
(Ale dúfal som, že si možno uvedomíte že takéto vyjadrenie už vlastne máme z prvej časti, a teda týmto výpočtom dostaneme len to isté, čo sme už predtým vyrátali inak.)