Niečo k veciam z konzultácií

[Martin Sleziak]

Veci, na ktoré ste sa dnes pýtali na konzultáciach - boli to vlastne väčšinou príklady z tých dvoch sád úloh, ktoré som vám dal.

Niektoré úlohy takýchto typov sú vyriešené v texte k prednáške (držím sa číslovania zo súčasnej verzie):

• Výpočet g.c.d. a jeho vyjadrenie v tvare $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$ - príklad 4.4.27. (Nejaký čas sme strávili tým, že sme sa rozprávali aj o tom ako urobiť aspoň čiastočnú skúšku správnosti. A tiež že ak nájdeme nejaký spoločný koreň $f(x)$ a $g(x)$, tak ním môžeme vydeliť a počítať s jednoduchšími polynómami.)
• Hľadanie radionálnych koreňov - príklad 4.5.11. Niečo je aj na fóre: viewtopic.php?t=1091
• Hornerova schéma a výpočet podielu - príklad 4.5.7.

Potom ste sa pýtali na úlohu, ktorá sa týkala rozkladu $x^4-1$ nad $\mathbb Z_{11}$ a $\mathbb Z_{13}$ a v čom tam je vlastne rozdiel. Ukázali sme si, že $x^2+1$ má koreň v $\mathbb Z_{13}$. Ale ak počítame v $\mathbb Z_{11}$, tak korene nemá. Keďže ide o polynóm druhého stupňa a nemá korene, tak je nad $\mathbb Z_{11}$ ireducibilný.

Potom ste sa ešte pýtali na takúto úlohu:

Pomocou Hornerovej schémy vyjadriť:
a) $f(x+3)$ pre $f(x)=x^4-x^3+1$
b) $(x-2)^4+4(x-2)^3+6(x-2)^2+10(x-2)+20$

Táto úloha nejako súvisí s formálnou deriváciou a Taylorovým rozvojom - čo sú veci, ktoré som na cvičení nestihol a sľúbil som, že nebudú na písomke.
Vlastne tam ide o to, že Taylorov rozvoj sa dá rátať aj pomocou Hornerovej schémy.
Teraz vás asi zaujímajú skôr veci, čo sa môžu vyskytnúť na písomke. Ale ak by sa niekto aj tak niekedy chcel na niečo takéto pozrieť, tak teóriu k Taylorovmu polynómu a formálnej derivácii tiež nájdete v poznámkach. Takýto príklad síce v tom texte vypočítaný nemám, ale ak náhodou máte knihu Algebra a teoretická aritmetika 1, tak je to zhruba to isté čo sa ráta tam v príklade 5.6.1.