Pole nekonečnej charakteristiky obsahuje $\mathbb Q$
Posted: Thu May 17, 2018 1:29 pm
V časti o charakteristike poľa (ktorú som nechal na samostatné doštudovanie) je aj výsledok, kde sa ukazuje, že:
Inak povedané, každé pole obsahuje podpole izomorfné s $\mathbb Q$ alebo podpole izomorfné s niektorým $\mathbb Z_p$.
Tak ako je dôkaz napísaný v súčasnej verzii poznámok sa na konci odvolávam o vetu z časti o podielovom poli. Ale dá sa ľahko zaobísť aj bez takejto všeobecnej vety.
Týka sa to záverečnej časti dôkazu. Konkrétne sme v situácii, že už sme ukázali existenciu injektívneho homomorfizmu $\varphi\colon\mathbb Z\to F$. Chceme ukázať, že existuje potom aj injektívny homomorfizmus $\overline\varphi\colon\mathbb Q\to F$.
Môžete sa skúsiť zamyslieť, či to viete dokázať sami, ale dôkaz napíšem aj sem.
Najprv čo vlastne máme dokázať:
Tu je to rozpísané detailnejšie:
Časom to prepíšem aj v poznámkach tak, aby tam bol dôkaz neodvolávajúci sa na podielové pole. (Keďže medzičasom vypadlo zo štátnicových otázok a už sa neučí.)
Ale zatiaľ ako provizórne riešenie azda postačí, že to je na fóre.
- Ak $F$ má nekonečnú charakteristiku, tak existuje injektívny homomorfizmus z $\mathbb Q$ do $F$.
- Ak $F$ má charakteristiku $p$, tak existuje injektívny homomorfizmus z $\mathbb Z_p$ do $F$.
Inak povedané, každé pole obsahuje podpole izomorfné s $\mathbb Q$ alebo podpole izomorfné s niektorým $\mathbb Z_p$.
Tak ako je dôkaz napísaný v súčasnej verzii poznámok sa na konci odvolávam o vetu z časti o podielovom poli. Ale dá sa ľahko zaobísť aj bez takejto všeobecnej vety.
Týka sa to záverečnej časti dôkazu. Konkrétne sme v situácii, že už sme ukázali existenciu injektívneho homomorfizmu $\varphi\colon\mathbb Z\to F$. Chceme ukázať, že existuje potom aj injektívny homomorfizmus $\overline\varphi\colon\mathbb Q\to F$.
Môžete sa skúsiť zamyslieť, či to viete dokázať sami, ale dôkaz napíšem aj sem.
Najprv čo vlastne máme dokázať:
Spoiler:
Spoiler:
Ale zatiaľ ako provizórne riešenie azda postačí, že to je na fóre.