msleziak.com

Možno niektoré veci budem opakovať rovnaké ako po minulé roky (viewtopic.php?t=916 a viewtopic.php?t=421), niektoré budú mierne odlišné.

Ako prebieha skúška viete zo ZS. Najprv sa píše písomka.
Po písomke si vytiahnete otázky z teórie, budete mať nejaký čas na prípravu a potom odpovedáte.
Písomka bude mať 4 príklady, spolu za 20 bodov. Za teóriu sa bude dať získať 50 bodov. (Zo semestra sa dalo získať 30 bodov. Stupnica je klasická: A-čko je 90 a viac, B-čko je 80 a viac, atď.)

Info k termínom skúšok je tu: viewtopic.php?t=1281

Čo sa skúša

Stručne: To čo som odprednášal. (Snažil som sa zapisovať čo bolo na jednotlivých prednáškach: viewtopic.php?t=1209 A tiež to, ktoré veci z textu som nerobil: viewtopic.php?t=1277) A pár vecí zostane naštudovať samostatne: Kapitolu týkajúcu sa charakteristiky poľa. (Z nej som nejaké veci ukázal, nejaké zostali vám. Tu pripomeniem aj dôkaz o podpoli izomorfnom z $\mathbb Q$, ktorý som doplnil na fórum.) Okrem toho by som ešte chcel aby ste sa pozreli na formálnu deriváciu a jej súvis s násobnými koreňmi. (Čo v podstate znamená vedieť čo je $Df(x)$; čo v podstate nie je nič nové, len teraz robíme s deriváciou pre polynómy nad ľubovoľným poľom - nie iba nad $\mathbb R$ ako na analýze. A vedieť to, že polynóm nemá násobné korene práve vtedy keď $\gcd(f(x),D(f(x)))=1$.)

Zvlášť sa zastavím pri podkapitole Okruhy polynómov II. Veci z tejto kapitoly sme robili na cvičení, neboli na prednáške. Nebudem skúšať dôkazy z tejto časti (viaceré som ani nerobil). Nanajvýš sa v súvislosti s polynómami môže objaviť nejaký dôkaz, ktorý je dosť jednoduchý na to aby sa dal brať ako cvičenie. Z časti o polynómoch by ste teda mali najmä vedieť počítať nejaké veci - a aj vedieť prečo fungujú, keďže to je vlastne špeciálny prípad teórie, ktorú sme preberali všeobecnejšie. (Oproti tomu, čo sme robili, navyše z tejto časti pribudli veci o derivácii.)

Detailnejšie:
Z kapitoly 2 (grupy) sme prešli vlastne všetko okrem Cayleyho vety (časť 2.6, tá sa neskúša.)
Z kapitoly 3 som takisto vynechal len posledné časti - ktoré sú označené hviezdičkou (a teda nepovinné).
Kapitola 4: Časti 4.1 a 4.2 (okruhy a faktorové okruhy) boli na prednáške. Veľa vecí z časti 4.3 sme robili na cviku a je to skôr počítanie ako teória. Časti 4.3.3 (polynomické funkcie) a 4.3.4 (iné definície okruhu polynómov) sa neskúšajú - o druhej sme nehovorili vôbec, o prvej iba veľmi stručne. Časť 4.4 (deliteľnosť, euklidovské okruhy, OHI, jednoznačnosť rozkladu) sme prebrali. Je tu uvedený aj rozšírený Euklidov algoritmus, ktorý by ste mali vedieť použiť. Takisto by ste mali vedieť rátať veci z časti 4.5. (Tu je aj časť 4.5.6 týkajúca sa formálnej derivácie - chcel by som, aby ste si z nej pozreli aspoň základné veci; t.j. definíciu a súvis s násobnými koreňmi. Nech je tu úplne jasne napísané čo z tejto časti od vás chcem aby ste vedeli, tak okrem definície sú to vlastne už len tvrdenie 4.5.27 a tvrdenie 4.5.31.)
Kapitola 5: Podielové pole (časť 5.1) - nebolo na prednáške. Neskúša sa. Časť 5.2 - charakteristka poľa - je to čo zostalo doštudovať samostatne. Z rozšírení polí som stihol odprednášať časti 5.3 a 5.4. (Výnimkou je veta 5.3.13 - na konci časti 5.3. Tú som nestihol odprednášať, nebudem ju ani skúšať.)
Keďže o rozkladových poliach (časť 5.5) som nestihol povedať nič, nebudem ju skúšať. (Platí poznámka, ktorú som napísal aj inde - môže sa vám oplatiť aspoň trochu sa pozrieť čo v tejto časti. Jednak na štátnice a niektorým z vás sa veci súvisiace s konečnými poľami ešte môžu hodiť v tom čo budete robiť ďalej.)

Príklady z kapitoly 5

Po poslednej prednáške padla aj otázka. Či sa môžu vyskytnúť aj príklady týkajúce sa polí. Odpoveď je, že v princípe áno - ale nie veľmi často. (Vlastne nie je veľa typov príkladov z tejto témy, ktoré by sme počas semestra stihli urobiť.) Nemám problém uznať, že to je trochu vyhýbavá odpoveď - ale nechcem úplne vylúčiť, že by sa nejaké príklady z tejto kapitoly môžu vyskytnúť na skúškovej písomke.

Tým, že som z tejto témy nerobil veľa na cviku/prednáške, tak priveľmi nemám aké príklady dávať. Čiže ak sa niečo objaví, tak skôr niečo jednoduché. T.j. také veci, ktoré by ste mali zvládnuť bez problémov ak ste pochopili teóriu. Alebo veci, ktoré som vám ukazoval. (Napríklad veci súvisiace s tým ako sa počíta v konečnom poli alebo ako sa dá nájsť minimálny polynóm.)

Ak chcete zhruba vedieť aké príklady by sa mohli objaviť z tejto časti, môžete sa pozrieť na nehviezdičkové cvičenia z textu alebo aj na úlohy, ktoré som pridal sem: viewtopic.php?t=1208 (Dohodli sme sa, že riešenie úloh na fóre za body sme už uzavreli. Dodatočne teda doplním, že na tieto úlohy o poliach je výnimka a dajú sa za ne body získať ešte aj cez skúškové. A potenciálne okrem bodov by pre vás mohla byť motivácia na riešenie aj to, že ak nejaké vyriešite, tak tým možno pomôžete spolužiakom, ktorí by chceli vidieť riešenia.)

Ale každopádne platí to, čo som napísal vyššie. Príkladom z tejto časti som cez semester venoval málo času, takže sa aj na skúške vyskytnú zriedkavejšie.