Ak $[G:H]=n$ a $H$ je normálna, tak $x^n\in H$

[Martin Sleziak]

Dostal som mailom otázku k tomuto príkladu.

chcel by som si vyriešiť príklad 1 zo skúškovej písomky z 25.5.. Tento príklad som sa už skôr pokúšal vyriešiť zo skrípt, no nepodarilo sa mi to. Teraz som ho opäť uvidel, a pokúšal som sa ho vyriešiť opäť, no akosi neviem od čoho sa v ňom odraziť. Mohli by ste mi prosím dať nejaký hint?

Skúsim odpovedať tu, môže to byť užitočné aj pre ďalších z vás.

Tu je zadanie. Tá istá úloha sa objavila ako úloha 5.1 medzi úlohami na riešenie na fóre: viewtopic.php?t=1208

Nech $H$ je podgrupa grupy $G$ a $[G:H]=n$.
a) Ukážte, že ak $H$ je normálna podgrupa, tak pre každé $x\in G$ platí $x^n\in H$.
b) Platí toto tvrdenie pre ľubovoľnú podgrupu (t.j. aj bez predpokladu, že $H$ je normálna)?

K druhej časti napíšem iba toľko, že treba hľadať kontrapríklad. Veľa príkladov podgrúp, ktoré nie sú normálne, sme si neukazovali - asi sa oplatí hľadať medzi nimi. Ak by predsa len pomohlo, tak tu je jedna možnosť pre $G$, kde sa dá nájsť kontrapríklad:

Spoiler:

Skúste sa pozrieť na $G=S_3$ a nájsť nejakú jej podgrupu, ktorá nie je normálna.
Ak takú podgrupu nájdete, pozrite sa na to, či pre ňu uvedené tvrdenie platí.

K prvej časti napíšem sériu hintov, ktoré sú postupne detailnejšie - pri tom poslednom už naozaj málo chýba k tomu, aby ste dokončili celé riešenie. (Ale ak sa nájde niekto, kto by sem napísal detailné riešenie bude fajn.)
A samozrejme, v žiadnom prípade netvrdím, že nie sú iné možnosti ako túto úlohu riešiť.

Prvý hint:

Spoiler:

Ak $H$ je normálna, tak existuje faktorová grupa $G/H$. Možno sa oplatí pozrieť na túto grupu.

Detailnejší hint:

Spoiler:

Čo viete povedať o prvku $xH$ v grupe $G/H$?

Ešte detailnejší hint:

Spoiler:

Aký je rád prvku $xH$ v grupe $G/H$?

Tu už naozaj chýba máličko, aby sa to dalo dokončiť:

Spoiler:

Čo vieme povedať o $x^nH$? Čo z toho vyplýva pre $x^n$?

[Martin Sleziak]

Chvíľu som počkal, či sa nenájde niekto čo by sem chcel napísať kompletné riešenie. (Aj keď tie hinty čo som dal sú už takmer riešenie.)
Pridám sem aspoň nejaké linky:

• Prove that if a normal subgroup $H$ of $ G$ has index $n$, then $g^n \in H$ for all $g \in G$
• If the index $n$ of a normal subgroup $K$ is finite, then $g^n\in K$ for each $g$ in the group.
• Normal Subgroup Counterexample
• If $[G:H]=n$, is it true that $x^n\in H$ for all $x\in G$?