Úloha 1.2: Ak $f\circ h=g\circ h$, tak $f = g$ - Riešenie
Posted: Sun Sep 30, 2018 9:30 am
Úloha 1.1. Dokážte: Nech $f,g\colon Y\to Z$ a $h\colon X\to Y$ sú zobrazenia. Ak $h$ je surjekcia a $f\circ h=g\circ h$, tak $f = g$.
Aby $f = g$, potrebujú byť splnené tri podmienky: ich definičné obory sa rovnajú, ich obory hodnôt sa rovnajú a v každom bode bode nadobúdajú rovnakú hodnotu, teda $f(y)=g(y)$. Prvé dve podmienky sú už splnené (viď zadanie), ostáva nám ukázať platnosť tretej.
1. Ak $f\circ h=g\circ h$, tak $f(h(x))=g(h(x))$
2. Musíme si uvedomiť, aké hodnoty môže $h(x)$ nadobudnúť - $h\colon X\to Y$ a $h$ je surjekcia, takže platí, že ($\forall y \in Y$) ($\exists x \in X$) ($h(x)=y$)
3. Označme si $h(x)$ ako konkrétne ${y_{0}}$ (${y_{0}}\in Y$)
4. $f({y_{0}}) = g({y_{0}})$ a keďže $h$ je surjekcia, platí to pre $\forall y \in Y$
5. Vidíme, že keďže za $h(x)$ môžeme doplniť akúkoľvek hodnotu $y \in Y$, tak daná rovnosť platí pre celý definičný obor $f,g$, a teda sme ukázali , že platí aj tretia podmienka a $f = g$
Aby $f = g$, potrebujú byť splnené tri podmienky: ich definičné obory sa rovnajú, ich obory hodnôt sa rovnajú a v každom bode bode nadobúdajú rovnakú hodnotu, teda $f(y)=g(y)$. Prvé dve podmienky sú už splnené (viď zadanie), ostáva nám ukázať platnosť tretej.
1. Ak $f\circ h=g\circ h$, tak $f(h(x))=g(h(x))$
2. Musíme si uvedomiť, aké hodnoty môže $h(x)$ nadobudnúť - $h\colon X\to Y$ a $h$ je surjekcia, takže platí, že ($\forall y \in Y$) ($\exists x \in X$) ($h(x)=y$)
3. Označme si $h(x)$ ako konkrétne ${y_{0}}$ (${y_{0}}\in Y$)
4. $f({y_{0}}) = g({y_{0}})$ a keďže $h$ je surjekcia, platí to pre $\forall y \in Y$
5. Vidíme, že keďže za $h(x)$ môžeme doplniť akúkoľvek hodnotu $y \in Y$, tak daná rovnosť platí pre celý definičný obor $f,g$, a teda sme ukázali , že platí aj tretia podmienka a $f = g$