Úloha 2.3. Ak (G,∘) je grupa a a∈G je nejaký jej prvok, tak zobrazenie fa:G→G definované ako fa(b)=a∘b je bijekcia.

[matejsladek]

Úloha 2.3. Ak $(G,\circ)$ je grupa a $a\in G$ je nejaký jej prvok, tak zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(b)=a\circ b$ je
bijekcia.

Musime dokazat ze zobrazenie $f_a$ je surjekcia a injekcia.

Dokazme sporom ze je injekcia:
Dokazeme ze neexistuje ziadne $b_1, b_2, b_1 \neq b_2$ a $f_a(b_1) = f_a(b_2)$
\begin{align}
f_a(b_1) &= f_a(b_2) \\
a \circ b_1 &= a \circ b_2 \\
b_1 &= b_2 && \text{Zo zákony o krátení}
\end{align}

Takze $f_a$ je injekcia.

Dokazme ze je surjekcia:
Dokazeme ze pre $\forall y \in G$ $\exists b$ $f_a(b) = y$.
$a \circ b = y$, aby nam to platilo pre kazde y, tak si mozme zvolit $b = a^{-1} \circ y$
\begin{align}
a \circ b &= y \\
a \ast a^{-1} \ast y &= y \\
e \ast y &= y && \text{Asociativnost} \\
y &= y
\end{align}

$f_a$ je surjekcia a injekcia $\implies$ $f_a$ je bijekcia.

[Martin Sleziak]

Riešenie je fajn, značím si 1 bod.
Staršie riešenia tej istej úlohy:
viewtopic.php?t=741
viewtopic.php?t=316
Niečo k tejto úlohe sa dá nájsť aj v subfóre k inému predmetu: viewtopic.php?t=766

[Martin Sleziak]

Tento príklad sa objavil aj na písomke, takže sem napíšem niečo k odovzdaným riešeniam. (Ako sa dala úloha riešiť sa dá pozrieť vyššie a aj na uvedených linkách.)

Pri surjektívnosti ste viacerí napísali niečo, čo by sa voľne dalo preformulovať asi takto:
"Označme $y=a*x$. Taký prvok $y$ existuje, lebo $*$ je binárna operácia. Vidíme, že $f_a(x)=y$. Teda ľubovoľný prvok $y$ má vzor, dané zobrazenie je surjektívne."
Toto nie je to, čo chceme dokázať. Tu ste vychádzali z predpokladu, že $y$ sa dá zapísať v takomto tvare - a to je vlastne to, čo chcete ukázať. (Cieľom je ukázať, že každé $y\in G$ sa dá zapísať ako $y=f_a(x)=a*x$ pre nejaké $x\in G$.)

To isté povedané inak: Chcete overiť, či pre každé $y\in G$ existuje $x\in G$ pre ktoré platí $$y=a*x.$$
V tom čo je napísané sú kvantifikátory vymenené presne naopak: Zdôvodnili ste, že ku každému $x\in G$ existuje $y\in G$ také, že $y=a*x$. (Inak povedané, zdôvodnili ste že $f_a$ je skutočne zobrazenie.)

Ak chceme zdôvodniť, že $g$ je inverzné zobrazenie k $f$, tak by sme mali skontrolovať že obe poradia dajú identitu (t.j. $g\circ f$ aj $f\circ g$).
T.j. ak ste sa v tejto úlohe snažili zdôvodniť, že $f_{a^{-1}}$ je inverzné zobrazenie k $f_a$, tak treba skontrolovať
\begin{gather*}
f_{a^{-1}}\circ f_a=id_G\\
f_a\circ f_{a^{-1}}=id_G
\end{gather*}
(Samozrejme, obe rovnosti sú zhruba rovnako ťažké. Navyše ak ste ukázali že prvá rovnosť platí pre ľubovoľné $a$, tak druhú dostanete dosadením $a^{-1}$. Chcel som len zdôrazniť, že pri kontrole či ide o inverzné zobrazenie potrebujeme obe.)