msleziak.com

Zadanie: Nech na množine $M = {0,1}$ sú operácie $+$ a $\cdot$ dané tabuľkami:
$\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cc}
\cdot & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\end{array}$

Ukážte, že $(M, +)$ a $(M\setminus\{0\}, \cdot)$ sú komutatívne grupy, a že platí distributívny zákon $(a+b)*c=a*c+b*c$. Je $(M,+,\cdot)$ pole?

Poďme postupne:
1, $(M,+)$ je komutatívna grupa:
$\to$ binárna operácia: vidíme, že dostávame iba $0$ a $1$, čo sú prvky množiny $M$, takže ide o binárnu operáciu
$\to$ komutatívnosť: môžeme si všimnúť v tabuľke, že to platí $(1+0=0+1=1)$
$\to$ asociatívnosť: pozrime sa teda na všetky možnosti

$\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|c|c}
(0+0)+0&0+0&0\\
(0+0)+1&0+1&1\\
(0+1)+0&1+0&1\\
(0+1)+1&1+1&0\\
(1+1)+0&0+0&0\\
(1+1)+1&0+1&1
\end{array}
&
\begin{array}{c|c|c}
0+(0+0)&0+0&0\\
0+(0+1)&0+ &1\\
0+(1+0)&0+1&1\\
0+(1+1)&0+0&0\\
1+(1+0)&1+1&0\\
1+(1+1)&1+0&1
\end{array}
\end{array}$

Vidíme, že jednotlivé riadky tabuliek sa rovnajú, takže asociatívnosť sme úspešne skontrolovali.
$\to$ neutrálny prvok: $0$ - máme iba dve možnosti na overenie - $0+0=0$ a $1+0=1$
$\to$ inverzný prvok: k prvku $a$ je to prvok $a$ - rovnako aj teraz máme iba dve možnosti na overenie - $0+0=0$ a $1+1=0$
$\to$ je to komutatívna grupa

2, $(M\setminus\{0\},\cdot)$ je komutatívna grupa (všimnime si, že ide o operáciu na jednom prvku, takže overovanie bude veľmi jednoduché):
$\to$ binárna operácia: jediná možnosť je $1\cdot 1=1$ - platí
$\to$ komutatívnosť: $1\cdot 1=1\cdot 1=1$ - platí
$\to$ asociatívnosť: $(1\cdot 1)\cdot 1=1\cdot 1=1$ a zároveň $1\cdot (1\cdot 1)=1\cdot 1=1$ - rovnajú sa, takže platí
$\to$ neutrálny prvok: jedinou možnosťou je $1$, pričom $1\cdot 1=1$, takže aj to platí
$\to$ inverzný prvok: opäť máme jedinú možnosť $1$, pri ktorej dostávame rovnaký výraz ako v predošlom bode
$\to$ je to komutatívna grupa

3, ukážme si distributívnosť výrazu $(a+b)\cdot c$
Máme iba $6$ možností, keďže nám platí komutatívnosť:
$$[(0+0)\cdot 0=0\cdot 0=0] \land [(0+0)\cdot 0=0\cdot 0+0\cdot 0=0+0=0]$$
$$[(0+0)\cdot 1=0\cdot 1=0] \land [(0+0)\cdot 1=0\cdot 1+0\cdot 1=0+0=0]$$
$$[(0+1)\cdot 0=1\cdot 0=1] \land [(0+1)\cdot 0=0\cdot 0+1\cdot 0=0+1=1]$$
$$[(0+1)\cdot 1=1\cdot 1=1] \land [(0+1)\cdot 1=0\cdot 1+1\cdot 1=0+1=1]$$
$$[(1+1)\cdot 0=0\cdot 0=0] \land [(1+1)\cdot 0=1\cdot 0+1\cdot 0=1+1=0]$$
$$[(1+1)\cdot 1=0\cdot 1=0] \land [(1+1)\cdot 1=1\cdot 1+1\cdot 1=1+1=0]$$
$\to$ distributívnosť zo zadania funguje.

Je to však pole? Aby to bolo pole, musí platiť aj $a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c$. Nájdeme prípad, kedy to neplatí:
$$1\cdot (1+1)=1\cdot 0 =1 \land 1\cdot (1+1) = 1\cdot 1 + 1\cdot 1= 1+1=0$$
Pole to teda nie je.

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

Len spomeniem, že pri pár veciach sme mohli vidieť ich platnosť aj rýchlejšie než skontrolovaním všetkých možností. (Aj keď možností ktoré treba prejsť tu nie je až tak veľa.)
* $(M,+)$ je presne $(\mathbb Z_2,\oplus)$, už vieme, že toto je komutatívna grupa.
* Ak si všimneme, že vlastne $a\cdot b=a$ (teda je to binárna operácia ktorá vždy vráti prvý argument a ignoruje druhý), tak ľahko vidíme že
\begin{gather*}
(a+b)\cdot c=a+b,\\
a\cdot c + b\cdot c = a +b.
\end{gather*}
(Použili sme $x\cdot c=x$ postupne pre $x=a+b$, $x=a$, $x=b$.

Na zdôvodnenie, že to nie je pole, sme mohli použiť aj kadečo iné. (Aj keď samozrejme distributívnosť sa zdá byt najprirodzejšia - toto je jediná časť definície ktorú sme neoverili.)
Napríklad sme dokázali, že v poli vždy platí $a\cdot0=0$. Z tabuľky hneď vidíme, že $(M,+,\cdot)$ takúto podmienku nespĺňa, platí totiž $1\cdot0=0$.

Staršie riešenia tej istej úlohy:
viewtopic.php?t=1166
viewtopic.php?t=320

Mala by som dotaz k testovaniu asociativity v tomto type príkladov. Predpokladajme, že naša (M,+) nie je identická (alebo si nevšimneme, že je identická) s nejakou (X, +), o ktorej by sme vedeli, že je grupa, a teda že (M,+) by bola grupa. Vieme otestovať asociativitu aj inak než testovaním všetkých možností? Ja som vo svojom riešení tohto príkladu tiež využila len otestovanie všetkých prípadov, ktoré môžu nastať, lebo nič lepšie (ak také niečo existuje) mi nenapadlo.