Úloha 3.3. Zistite, či $F=\left \{a+\frac{b}{\sqrt 2};a∈Q,b∈Q\right \}$ je pole.

[richardbiro]

Na to, aby bolo $F = \left \{ a + \frac{b}{\sqrt 2}, a ∈ Q, b ∈ Q\right \}$ pole, musia byť z definície splnené 3 podmienky:

1) $(F,+)$ musí byť komutatívna grupa. Z definície komutatívnej grupy musí byť splnených 5 podmienok:


1A) Operácia $+$ musí byť binárna, teda sčítaním dvoch prvkov z $F$ musíme opäť dostať prvok z $F$. To je pravda, lebo súčet ľubovoľných dvoch prvkov $(a + \frac{b}{\sqrt 2}) + (c + \frac{d}{\sqrt 2})$ sa dá napísať v tvare $a + c + \frac{b+d}{\sqrt 2}$, a keďže $a,b,c,d ∈ Q$, nutne aj $a + c ∈ Q, b + d ∈ Q$, a teda $a + c + \frac{b + d}{\sqrt 2} ∈ F$.


1B) Operácia $+$ musí byť komutatívna. Pre všetky $a,b,c,d ∈ Q$ musí platiť:
$(a + \frac{b}{\sqrt 2}) + (c + \frac{d}{\sqrt 2}) = (c + \frac{d}{\sqrt 2}) + (a + \frac{b}{\sqrt 2})$
To je samozrejme pravda.


1C) Operácia $+$ musí byť asociatívna. Pre všetky $a,b,c,d,e,f ∈ Q$ musí platiť:
$((a + \frac{b}{\sqrt 2}) + (c + \frac{d}{\sqrt 2})) + (e + \frac{f}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2}) + ((c + \frac{d}{\sqrt 2}) + (e + \frac{f}{\sqrt 2}))$
To je samozrejme pravda.


1D) Operácia $+$ musí mať neutrálny prvok $0_{1} + \frac{0_{2}}{\sqrt 2}$. Musia existovať $0_{1},0_{2} ∈ Q$ také, že pre všetky $a,b ∈ Q$ platí:
$(0_{1} + \frac{0_{2}}{\sqrt 2}) + (a + \frac{b}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2}) + (0_{1} + \frac{0_{2}}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2})$
Prvá rovnosť platí vždy vďaka komutativite. Druhú rovnicu ekvivalentne upravíme:
$0_{1} + \frac{0_{2}}{\sqrt 2} = 0$
$\sqrt 2 * 0_{1} + 0_{2} = 0$
Vieme, že rovnica tohto typu má v obore racionálnych čísel iba nulové riešenie, teda nutne $0_{1} = 0_{2} = 0$. Neutrálny prvok je preto $0 + \frac{0}{\sqrt 2}$.


1E) Operácia $+$ musí mať inverzný prvok. Pre všetky $a,b ∈ Q$ musia existovať $(-a),(-b) ∈ Q$ také, že platí:
$((-a) + \frac{(-b)}{\sqrt 2}) + (a + \frac{b}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2}) + ((-a) + \frac{(-b)}{\sqrt 2}) = (0 + \frac{0}{\sqrt 2})$
Prvá rovnosť platí vždy vďaka komutativite. Druhú rovnicu ekvivalentne upravíme na tvar:
$a + (-a) + \frac{b + (-b)}{\sqrt 2} = 0$
Táto rovnica má opäť iba nulové riešenie, teda $(-a) = -a, (-b) = -b$. Tým sme ku každému prvku $a + \frac{b}{\sqrt 2}$ našli inverzný prvok $-a + \frac{-b}{\sqrt 2}$.
Poznámka pre jednoznačnosť: $(-x)$ je inverzný prvok ku $x$ pre operáciu $+$, zatiaľ čo $-x$ je opačné číslo k číslu $x$ (klasické mínus).




2) $(F - \left \{ 0 \right \},.)$ musí byť komutatívna grupa. Výraz $a + \frac{b}{\sqrt 2}$ teraz nemôže byť nulový, takže pri každom takomto výraze automaticky uvažujeme, že $a \neq 0$ alebo $b \neq 0$. Z definície komutatívnej grupy musí byť splnených 5 podmienok:


2A) Operácia $.$ musí byť binárna, teda vynásobením dvoch z $F - \left \{ 0 \right \}$ musíme dostať opäť prvok z $F - \left \{ 0 \right \}$. Súčin ľubovoľných dvoch prvkov $(a + \frac{b}{\sqrt 2}) . (c + \frac{d}{\sqrt 2})$ sa dá napísať v tvare $ac + \frac{bd}{2} + \frac{ad + bc}{\sqrt 2}$. Keďže $a,b,c,d ∈ Q$, nutne aj $ac + \frac{bd}{2} ∈ Q, ad + bc ∈ Q$.
Treba sa však uistiť, že touto operáciou nezískame nulový prvok $0 + \frac{0}{\sqrt 2}$, pretože ten do množiny $F - \left \{ 0 \right \}$ nepatrí. Ak by sme takýto prvok vedeli dostať, muselo by platiť:

$ac + \frac{bd}{2} = 0, ad + bc = 0$.

Úpravou týchto vzťahov dostaneme $2ac = - bd, ad = - bc$. Podľa podmienky pre $(F - \left \{ 0 \right \},.)$ platí, že aspoň jedno z čísel $a,b$ je nenulové a aspoň jedno z čísel $c,d$ je nenulové. Rozoberme dva prípady:

I. Uvažujme, že nejaké číslo z $a,b,c,d$ je nula. Bez ujmy na všeobecnosti položme $a = 0$. Potom je ľavá strana oboch rovníc nulová, takže musí byť aj pravá strana oboch rovníc nulová. To však nastane iba vtedy, ak $b = 0$ (to je spor s tým, že aspoň jedno z čísel $a,b$ je nenulové), alebo ak $c = d = 0$ (to je spor s tým, že aspoň jedno z čísel $c,d$ je nenulové). K rovnakému sporu prídeme aj keď položíme $b = 0, c = 0, d = 0$.

II. Uvažujme, že každé z čísel $a,b,c,d$ je nenulové. Potom môžme obe rovnice beztrestne vydeliť, čím dostaneme vzťah $\frac{2c}{d} = \frac{d}{c}$. Ten môžeme upraviť na $\sqrt 2 = \frac{d}{c}$, čo je však evidentný spor, pretože $c,d$ sú racionálne čísla.

V oboch prípadoch sme došli sporu, takže touto operáciou nemôžeme získať nulový prvok. To potvrdzuje, že $ac + \frac{bd}{2} + \frac{ad + bc}{\sqrt 2} ∈ F - \left \{ 0 \right \}$, takže operácia $.$ je binárna.


2B) Operácia $.$ musí byť komutatívna. Pre všetky $a,b,c,d ∈ Q$ musí platiť:
$(a + \frac{b}{\sqrt 2}) . (c + \frac{d}{\sqrt 2}) = (c + \frac{d}{\sqrt 2}) . (a + \frac{b}{\sqrt 2})$
To je samozrejme pravda.


2C) Operácia $.$ musí byť asociatívna. Pre všetky $a,b,c,d,e,f ∈ Q$ musí platiť:
$((a + \frac{b}{\sqrt 2}) . (c + \frac{d}{\sqrt 2})) . (e + \frac{f}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2}) . ((c + \frac{d}{\sqrt 2}) . (e + \frac{f}{\sqrt 2}))$
To je samozrejme pravda.


2D) Operácia $.$ musí mať neutrálny prvok $1_{1} + \frac{1_{2}}{\sqrt 2}$. Musia existovať $1_{1},1_{2} ∈ Q$ také, že pre všetky $a,b ∈ Q$ platí:
$(1_{1} + \frac{1_{2}}{\sqrt 2}) . (a + \frac{b}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2}) . (1_{1} + \frac{1_{2}}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2})$
Prvá rovnosť platí vždy vďaka komutativite. Vďaka tomu, že $a + \frac{b}{\sqrt 2}$ sa nikdy nemôže rovnať nule, môžeme druhú rovnicu ekvivalentne upraviť:
$1_{1} + \frac{1_{2}}{\sqrt 2} = 1$
$(1_{1} - 1) + \frac{1_{2}}{\sqrt 2} = 0$
$\sqrt 2 * (1_{1} - 1) + 1_{2} = 0$
Táto rovnica má zase iba nulové riešenie, teda $1_{1} - 1 = 0$ (čo implikuje $1_{1} = 1$) a $1_{2} = 0$. Neutrálnym prvkom je preto $1 + \frac{0}{\sqrt 2}$.


2E) Operácia $.$ musí mať inverzný prvok. Pre prvok $a + \frac{b}{\sqrt 2}$ by mohol byť vhodný inverz $\frac{1}{a + \frac{b}{\sqrt 2}}$. Stačí len overiť, či sa takýto výraz dá zapísať do pôvodnej podoby:

$\frac{1}{a + \frac{b}{\sqrt 2}} = \frac{1}{a + \frac{b}{\sqrt 2}} * \frac{a - \frac{b}{\sqrt 2}}{a - \frac{b}{\sqrt 2}} = \frac{a - \frac{b}{\sqrt 2}}{a^{2} - 2b{^2}} = \frac{a}{a^{2} - 2b^{2}} + \frac{\frac{-b}{a^{2} - 2b^{2}}}{\sqrt 2}$

Z podmienky $a + \frac{b}{\sqrt 2} \neq 0$ si nie je ťažké premyslieť, prečo platí aj $a - \frac{b}{\sqrt 2} \neq 0$. Náš inverzný prvok je teda validný - ku každému prvku $a + \frac{b}{\sqrt 2}$ sme našli inverzný prvok $\frac{1}{a + \frac{b}{\sqrt 2}}$.




3) Musí byť zachovaná distributívnosť. Pre všetky $a,b,c,d,e,f ∈ Q$ musí platiť:
$(a + \frac{b}{\sqrt 2}) . (c + \frac{d}{\sqrt 2} + e + \frac{f}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2}) . (c + \frac{d}{\sqrt 2}) + (a + \frac{b}{\sqrt 2}) . (e + \frac{f}{\sqrt 2})$
To je samozrejme pravda.


Všetky podmienky sú splnené, takže $F = \left \{ a + \frac{b}{\sqrt 2}, a ∈ Q, b ∈ Q\right \}$ je určite pole.

[Martin Sleziak]

Riešenie je vcelku fajn, značím si 1 bod.
Pridám aj linku na staršie riešenie: viewtopic.php?t=333
Aj tak ale budem mať niekoľko poznámok k niektorým častiam toho čo ste napísali. (Azda niektoré z nich môžu pomôcť aby boli niektoré časti riešenia jasnejšie.)

To je samozrejme pravda.

Vlastne na všetkých miestach, kde ste napísali takúto formuláciu, vlastne využívame že nejaká vlastnosť platí na $\mathbb R$ a zdedí sa na menšiu podmnožinu. (Konkrétne pri komutatívnosti aj pri asociatívnosti. Dôležité je, že obe operácie sú rovnaké ako na $\mathbb R$)

1D) Operácia $+$ musí mať neutrálny prvok $0_{1} + \frac{0_{2}}{\sqrt 2}$. Musia existovať $0_{1},0_{2} \in Q$ také, že pre všetky $a,b ? Q$ platí:
$(0_{1} + \frac{0_{2}}{\sqrt 2}) + (a + \frac{b}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2}) + (0_{1} + \frac{0_{2}}{\sqrt 2}) = (a + \frac{b}{\sqrt 2})$
Prvá rovnosť platí vždy vďaka komutativite. Druhú rovnicu ekvivalentne upravíme:
$0_{1} + \frac{0_{2}}{\sqrt 2} = 0$
$\sqrt 2 * 0_{1} + 0_{2} = 0$
Vieme, že rovnica tohto typu má v obore racionálnych čísel iba nulové riešenie, teda nutne $0_{1} = 0_{2} = 0$. Neutrálny prvok je preto $0 + \frac{0}{\sqrt 2}$.

Zdôrazním najprv to, že na tomto (a aj viacerých ďalších miestach) využívate že pre $x,y,z,w\in\mathbb Q$ platí
\begin{gather*}
x+y\sqrt2=0 \Leftrightarrow x=y=0\\
x+y\sqrt2=z+w\sqrt2 \Leftrightarrow (x=z) \land (y=z)
\end{gather*}
(Túto vec sme pomerne detailne zdôvodnili na cvičeniach.)
Ďalšiu vec ktorú spomeniem je, že to asi nebolo treba. Samozrejme, je pravde že takto ste zistili že jediný možný kandidát na neutrálny prvok pre sčitovanie je $0+\frac0{\sqrt2}=0$. Na druhej strane, tento kandidát sa asi dá uhádnuť z vlastností sčitovania na reálnych číslach - čiže potom už treba iba nájsť či patrí do $F$, t.j. či sa dá naozaj vyjadriť v takomto tvare.

2A) Operácia $.$ musí byť binárna, teda vynásobením dvoch z $F - \left \{ 0 \right \}$ musíme dostať opäť prvok z $F - \left \{ 0 \right \}$

Opäť - to čo ste napísali v tejto časti je úplne správne.
Ale asi jednoduchšie zdôvodnenie by bolo, že pre násobenie reálnych čísel vieme že súčin dvoch nenulových čísel je nenulový - a malo by byť jasné, že táto vlastnosť sa nemôže pokaziť prechodom k menšej množine (pričom berieme tú istú operáciu).

Z podmienky $a + \frac{b}{\sqrt 2} \neq 0$ si nie je ťažké premyslieť, prečo platí aj $a - \frac{b}{\sqrt 2} \neq 0$.

Znovu len upozorním, že sme opäť využili $x+y\sqrt2=0 \Leftrightarrow x=y=0 \Leftrightarrow x-y\sqrt2=0$ (pre $x$, $y$ racionálne).

[Martin Sleziak]

Ja ešte raz využijem toto vlákno na to, aby som vysvetlil prečo sme na cviku začali s tým, že sme ukázali túto vec, resp. na ktorom mieste sme ju potrebovali:

Znovu len upozorním, že sme opäť využili $x+y\sqrt2=0 \Leftrightarrow x=y=0 \Leftrightarrow x-y\sqrt2=0$ (pre $x$, $y$ racionálne).

(Dostal som takú otázku dnes po cviku - tým, že už takmer začinala ďalšia hodina a ešte som dozbieraval písomky od ľudí čo písali dnes asi nebol celkom čas to poriadne vysvetliť. Aj keď tam nešlo presne o tento príklad, bol to príklad z cvika, ktorý bol veľmi podobný.)
Pri hľadaní inverzného prvku k $1/(x+y\sqrt2)$ sme čitateľa aj menovateľa rozšírili číslom $x-y\sqrt2$. Takáto operácia by nebola v poriadku ak by platilo $x-y\sqrt2=0$. (Násobili by sme nedefinovaným výrazom $\frac00$.) Takže si potrebujeme uvedomiť či je táto operácia povolená.
Alebo sa dá na to pozrieť inak. Pre inverzný prvok dostanete vyjadrenie v tvare $(x-y\sqrt2)/(x^2+2y^2)$. Toto vyjadrenie je v poriadku ak v menovateli nie je nula.

Čiže pri hľadaní inverzného prvku si potrebujeme rozmyslieť, že sme nikde nedelili nulou. Vďaka tomu, že inverzný prvok hľadáme iba pre $x+\sqrt2\ne0$ sa to dá použitím spomenutej ekvivalencie zdôvodniť vcelku ľahko.

[Martin Sleziak]

Veľmi podobná úloha sa vyskytla aj na písomke (konkrétne jedna skupina mala $F=\{a+b\sqrt3; a,b\in\mathbb Q\}$ a druhá $F=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$).
Riešenie je takmer totožné, napíšem sem nejaké poznámky k veciam čo sa objavili v odovzdaných písomkách.
Aby sa to ľahšie čítalo a bolo jednotnejšie, tak budem písať pripomienky ako keby sa týkali úlohy o $F=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$. (Ak som aj na niečo narazil v inej skupine, tak to zmením tak aby to sedelo na túto úlohu.)

Ešte raz zopakujem (aj preto, že sa niečo takéto vyskytlo v písomkách), že viacero vecí sa "zdedí" z poľa $(\mathbb R,+,\cdot)$. (Vieme, že $\mathbb R$ je pole a využívame, že operácie na množine $F$ sú definované rovnako.) Čiže pre obe asociatívnosti, obe komutatívnosti a aj distributívnosť si stačí uvedomiť, že ak platia pre väčšiu množinu, tak platia aj pre menšiu množinu. (V našom prípade sú tieto dve množiny $F$ a $\mathbb R$.)
Znovu pridám túto linku na topic v subfóre k inému predmetu (Kedy je podmnožina poľa opäť poľom?): viewtopic.php?t=84

Špeciálne teda veci, ktoré ste niektorí z vás robili a vlastne ste si ich mohli ušetriť:

• Nebolo treba rozpísať $[(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)](e+f\sqrt2)$ a $(a+b\sqrt2)[(c+d\sqrt2)(e+f\sqrt2)]$ a porovnať či dostanem rovnaké výrazy.
• Nebolo treba upravovať $(a+b\sqrt2)[(c+d\sqrt2)+(e+f\sqrt2)]$ aj $(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)+(a+b\sqrt2)(e+f\sqrt2)$ a porovnávať, či sú výsledky rovnaké.
• atď.

(Samozrejme, aj takéto zdôvodnenie je správne, dalo sa to však urobiť jednoduchšie - alebo prinajmenšom tak aby ste mali menej písania.)

Takisto aj ak ste už skontrolovali, že násobenie je binárna operácia na $F$, tak že to je binárna operácia na $F\setminus\{0\}$ mám "zadarmo".
(Viem, že implikácia $xy=0 \Rightarrow x=0 \lor y=0$ platí pre ľubovoľné čísla $x,y\in\mathbb R$. Takže je jasné, že bude platiť aj ak sa obmedzím na menšiu množinu, t.j. pozerám sa iba na $x,y\in F$.)

Spoiler:

Čiže na zdôvodnenie tohoto nebolo treba rozpisovať $$(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2$$ a snažiť sa ukázať, že ak $$(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2$$
$a+b\sqrt2\ne0$ aj $c+d\sqrt2\ne0$, tak aj pre číslo ktoré nám vyšlo na pravej strane vieme z tohoto zápisu dostať, že je nenulové.
Aj keď sa to samozrejme dá urobiť aj takto. Ak niekto skúšal takýto postup, asi najpriamočiarejší argument ako sa k tomu dostať sa mi zdá taký ako je použitý tu: viewtopic.php?t=1163

Aké veci mi teda zostali, kde nemôžem prehlásiť, že sú zadarmo?
1. Mal by som skontrolovať, že $+$ aj $\cdot$ sú binárne operácie.
2. Mal by som skontrolovať, že obe operácie majú neutrálne prvky.
3. Mal by som skontrolovať, že každý prvok má inverz (pri násobení to chcem pre nenulové prvky).

Aj tu mi však pomôže to že viem niečo o reálnych číslach.
Viem, že v reálnych číslach mám neutrálny prvok $0$ pri sčitovaní a $1$ pri násobení. To sú prirodzení kandidáti na NP aj tu - len musím skontrolovať či patria do $F$.
Takisto pri inverzných prvkoch sa mi asi oplatí pozrieť na $-(a+b\sqrt2)$ a $\frac1{a+\sqrt2}$, potrebujeme si ale rozmyslieť, že tento prvok patrí do $F$. (Čiže vlastne ho upraviť do tvaru kde bude zapísaný ako súčet racionálneho čísla a racionálneho násobku $\sqrt2$.)

Spoiler:

Opäť bolo viacero riešení, kde ste nevyužívali že poznáme NP a IP v reálnych číslach a snažili ste sa dostať aký majú tvar z podmienky čo vám vyjde pri roznásobení. (Napríklad pre násobenie ste položili $(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=1$, poupravovali a snažili sa vyjadriť $c$, $d$. To sa samozrejme dá spraviť - znovu pridám linku na topic, ktorý som už raz spomenul: viewtopic.php?t=1163 - akurát pri využití toho že vieme niečo o reálnych číslach by ste s tým mali menej práce.)

Ešte teda poznamenám, že som čakal aspoň nejakú zmienku o tom, že ak sa vám podarilo upraviť inverz na tvar
$$\frac1{a+b\sqrt2}=\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2},$$
tak prečo na pravej strane nemám nulu v menovateli. (Aj s nejakým zdôvodnením.)
A ak ste tam niekde použili, že $a+b\sqrt2=0$ platí (pre racionálne $a$, $b$) p.v.k. $a=b=0$, tak aj k tomuto som čakal nejaké (aspoň stručné) zdôvodnenie. (Toto je vlastne presne to, čo je v predošlom príspevku.)