Prednášky LS 2018/2019

[jaroslav.gurican]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[jaroslav.gurican]

Prednáška č. 1 (21. 2. 2019)

Grupy - zopakovanie definícii a niektorých viet z minulého semestra (jedna z nich je v skriptách uvedená ako cvičenie 2.1.5, ale my sme dôkaz spravili v minulom semestri).
Podgrupy - definícia, kritérium, základné vlastnosti. Prienik podgrúp, podgrupa generovaná podmnožinou grupy.

[jaroslav.gurican]

Prednáška č. 2 (28. 2. 2019)

Homomorfizmy grúp. Definícia, základné vlastnosti - obraz neutrálneho a inverzného prvku, obraz a vzor podgrúp, $Im(f)$ a $Ker(f)$ pre homomorfizmus, kompozícia homomorfizmov grúp, izomorfizmus grúp a izomorfné grupy.

Cyklické grupy - definícia. Mocnina prvku v grupe (zápisy sú $a^k$ v grupách so všeobecnou, "multipikatívnou" operáciou, $k\times a$ v grupách, kde je operácia so znakom "typu" $+$, ako napr. $+,\oplus,\boxplus,...$)

Veta: Pre (cyklickú) grupu generovanú prvkom $a$ platí: $[a]=\{a^k;\ k\in Z\}$.

[jaroslav.gurican]

Prednáska č. 3 (7. 3. 2019)

Kritérium pre konečné podmnožiny grupy, aby boli podgrupmai.

Rád prvku v grupe. Popis cyklickej podgrupy generovanej prvkom konečného rádu $k>0$. Popis cyklickej podgrupy generovanej prvkom rádu $\infty$.
Veta o tom, že cyklická grupa je izomorfná buď s $(Z,+)$ (ak je nekonečná, čo je to isté, ako to, že ktorýkoľvek jej generátor má rád $\infty$) alebo s grupou $(Z_n,\oplus)$ (ak má $n$ prvkov, čo je to isté, ako že ktorýkoľvek jej generátor má rád $n$).
Podgrupa cyklickej grupy je cyklická.

[jaroslav.gurican]

Prednáška č. 4 (14. 3. 2019)

Rozklad grupy podľa podgrupy, príklady, základné vlastnosti rozkladov, Lagrangeova veta.

[jaroslav.gurican]

Prednáška č. 5 (21. 3. 2019)

Index podgrupy v grupe ($[G:H]$). Lagrangeova veta v tvare $[G:H].|H|=|G|$. Dôsledky Lagrangeovej vety, "klasifikácia" grúp s prvočíselným počtom prvkov.

Motivácia normálnej podgrupy, veta a definícia normálnej podgrupy. Veta o faktorizácii, faktorová grupa podľa (normálnej) podgrupy.

[jaroslav.gurican]

Prednáška č. 6 (28. 3. 2019)

Pokračovanie v téme "faktorizácia" grúp, vety o izomorfmizme, ako "počítať" faktorové grupy.

[jaroslav.gurican]

Prednáška č. 7 (4. 4. 2019)

3. veta o izomorfizme (bez dôkazu). Príklad na použitie: $Z_{12}/\{0,3,6,9\}$ pričom sme to spravili ako $Z_{12}\cong Z/12Z$ a $\{0,3,6,9\}=3Z/12Z$.

Potom sme robili ešte dva príklady.

$Z_4\times Z_6/[(2,2)]$ (rovnký príklad sme robili aj na minulej prednáške). Teraz sme si všimli (priamym overením), že $[(2,2)]=\{0,2\}\times \{0,2,4\}$ a použili sme vetu

Ak $H_1$ je normálna podrupa $G_1$ a $H_2$ je normálna podgrupa $G_2$, potom $\frac{G_1\times G_2}{H_1\times H_2}\cong \frac{G_1}{H_1}\times \frac{G_2}{H_2}$.

Dôkaz (pomocou 1. vety o izomorfizme) sme naznačili, hovorili sme o zobrazení $f\colon G_1\times G_2\to \frac{G_1}{H_1}\times \frac{G_2}{H_2}$ danom predpisom $f(a,b)=(aH_1, bH_2)$ a za D.Ú. som nechal overiť, že 1. $f$ je surjektívne zobrazenie, 2. že je to homomorfizmus a 3. že $Ker(f)=H_1\times H_2$. (bolo by fajn, keby niekto - za 1 bod - napísal tieto dôkazíky do fóra). V tejto situácii je dôkaz tvrdenia vety len priama aplikácia 1. vety o izomorfizme.

Druhý príklad bol: Zistite-nájdite-popíšte všetky homomorfizmy z grupy $Z_{18}$ do grupy $Z_{24}$. Toto bol príklad, kde sme spojili v podstate všetky vedomosti: podgrupa cyklickej vety je cyklická, cyklická grupa s $n$ prvkami je izomorfná s $(Z_n,\oplus)$, vlastnosti rádov prvkov (napr., že rád prvku delí počet prvkov grupy, že rád obrazu $f(a)$ v homomorfizme $f$ delí rád zobrazovaného prvku $a$), kanonický homomorfimus typu $\psi\colon G\to G/H$, kompozícia homomorfizmov je homomorfizmus,...

Okruhy. Základné definície a niekoľko príkladov. (Okrem pár konkrétnych príkladov - číselné okruhy, matice - sme videli aj dve konštrukcie ako z okruhov vyrábať nové okruhy, konkrétne $R_1\times R_2$

Komutatívny okruh, okruh s jednotkou. Okruh bez deliteľov nuly, obor integrity, teleso, pole.
Podokruh. Ideály. Definícia ideálu.
Homomorfizmy. Definícia homomorfizmu a izomorfizmu okruhov. Niekoľko príkladov.
Dokázali sme, že jadro homomorfizmu je ideál, aby sme videli nejakú podobnosť medzi ideálmi a normálnymi podgrupami. (Normálne podgrupy sú presne jadrá grupových homomorfizmov. Ideály sú presne jadrá okruhových homomorfizmov.)

Vyslovili sme vetu o násobení nulou v okruhu, o násobení opačným prvkom (opačný = inverzný vzhľadom na sčítanie). Dôkaz sme nerobili, lebo je rovnaký, ako bol pre polia a podobný na dôkaz pre vektorové priestory.

[jaroslav.gurican]

Prednáška č. 8 (11. 4. 2019)

Prienik podokruhov je podokruh, ideálov je ideál. Podokruh generovaný množinou $[X]$, ideál generovaný množinou $(X)$. Popis $(a_1,\ldots,a_n)$, ideálu generovaného konečnou množinou v komutatívnom okruhy s jednotkou. Hlavný ideál v kom. okruhu s 1.

Súvislosť (ekvivalentnosť) vlastnosti "nemať netriviálne delitele nuly" s krátením nenulovým prvkom.
Ako dôsledok: konečný obor integrity je pole.

Jediné ideály v poli $F$ sú $\{0\}$ a $F$.

Hľadali sme všetky okruhové homomorfizmy $f\colon Q[\sqrt 2]\to Q[\sqrt 2]$, ukázali sme pri tom, ako pri podobných úlohách postupovať.

Pojem prvoideálu a maximálneho ideálu. Definovali sme (a dokázali, že to naozaj funguje) operáciu násobenia pre triedy rozkladu $(R/I,+)$ podľa ideálu $I$ (čo je aj podgrupa grupy $(R,+)$) a ukázali sme ako je na to potrebné využiť "rozšírenie" uzavretosti na násobenie (ideál verzus podokruh). To je príprava na definíciu faktorizácie okruhov podľa ideálu.

[jaroslav.gurican]

Prednáška č. 9 (25. 4. 2019)

Veta o faktorizácii okuhov. Kanonický homomorfimus okruhu na jeho faktorizáciu podľa ideálu, prvá veta o izomorfizme pre okruhy.

Pre komutatívny okruh s jednotkou: faktorizácia podľa ideálu $I$ je obor integrity práve vtedy, keď $I$ je prvoideál (dôkaz bol ako D.Ú.). Faktorizácia podľa ideálu $I$ je pole práve vtedy, keď $I$ je maximálny ideál. Tento dôkaz sme spravili.
Ako dôsledok sme uviedli, že v kom. okruhu s jednotkou je maximálny ideál prvoideál. (D.Ú. bolo spraviť dôkaz tohoto tvrdenia bez použita uvedených viet o faktorizácii. Objaví sa taký dôkaz v rámci fóra?).

Deliteľnosť v oboroch integrity.
Definícia deliteľnosti, dôkaz, že je to reflexívna a tranzitívna relácia. Definícia asociovanosti prvkov.
Označenie množiny jednotiek okruhu $R$ ($U(R)=\{a\in R; a| 1\}$, $U$ je od slova unit)

Operácia násobenia oboru integrity $(R,+,\cdot)$ (presnejšie jej zúženie na $U(R)$) je bin. operácia aj na množine $U(R)$ a $(U(R),\cdot)$ je grupa.