msleziak.com

Ak matice $A$, $B$, $C$ sú takých rozmerov, že uvedené súčiny existujú a navyše $B$, $C$ sú regulárne, tak platí $$h(BA)=A \qquad{\text{a}}\qquad h(AC)=A.$$
Stručne: Násobenie regulárnou maticou (či už zľava alebo sprava) nemení hodnosť.

Napíšem tu aspoň stručné hinty, ktoré môžu pomôcť k tomu aby ste tieto veci odvodili.
Ako prvé si môžete rozmyslieť, že ak dokážem jednu z uvdených rovností, tak z nej vyplýva aj druhá. Dalo by sa využiť to, čo vieme o súvise hodnosti a dimenzii priestoru riešení príslušnej homogénnej sústavy. Dalo by sa využiť to, čo vieme o dimenzii jadra lineárneho zobrazenia. Ešte sa dá pozrieť na to, čo vynásobenie maticou sprava urobí s riadkami matice.

Ak už sme predtým dokázali, že $h(XY)\le h(X)$ aj $h(XY)\le h(Y)$ platí pre ľubovoľné matice, ktoré sa dajú násobiť dalo by sa to použiť aj tu.
Na tieto nerovnosti nepotrebujeme, žiadny predpoklad o maticiach $AB$, iba to že majú také rozmery, aby sa dali násobiť. Niečo k dôkazu sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=828

Ak vieme tieto nerovnosti, tak máme "zadarmo" $h(BA)\le h(A)$.
Vedeli by ste, ak je navyše $B$ regulárna, dostať aj opačnú nerovnosť?

Hint: Riešenie: Dá sa však povedať, že týmto prístupom sme až tak veľmi neušetrili - v tom zmysle, že v dôkaze nerovností ktoré používame sa pravdepodobne vyskytnú veľmi podobné argumenty ako budeme používať pri riešení otázky čo sa stane s hodnosťou po vynásobení regulárnou maticou.