Druhá skupina mala tie isté dve roviny, akurát boli zadané trochu inak.Pre zadané roviny $\alpha$ a $\beta$ nájdite dimenziu, parametrické aj všeobecné vyjadrenie ich prieniku. Zistite, či sú $\alpha$ a $\beta$ rovnobežné, rôznobežné, mimobežné (alebo neplatí ani jedna z~uvedených možností).
$$
\alpha\equiv
\begin{cases}
x_1=1+s+t\\
x_2=-1+2s+t\\
x_3=1+s+t\\
x_4=3-3s-t\\
\end{cases}
\qquad
\beta\equiv\begin{cases}
x_1=1+v\\
x_2=u+v\\
x_3=2+u\\
x_4=1-2u-v\\
\end{cases}
$$
(Parametre $s$, $t$, $u$, $v$ nadobúdajú ľubovoľné reálne hodnoty.)
Vyjde, že ich prienik je priamka $p=(0,-3,0,6)+[(1,2,1,-3)]$. (Nižšie napíšem ako sa dala nájsť a ako sa dalo dostať k jej parametrickému a všeobecnému vyjadreniu.)
Keďže $\mathcal B_\alpha\cap\mathcal B_\beta\ne\emptyset$ a súčasne je žiadny z dvoch priestorov nie podmnožinou toho druhého, sú mimobežné.
Spomeniem aj to, že parametrické a všeobecné vyjadrenie nie sú určené jednoznačne. Môžete nájsť aj inú sústavu, ktorá popisuje priamku $p$.
Keďže výsledok je jednorozmerný podpriestor, tak smerový vektor je určený jednoznačne až na skalárny násobok. Stále sa dá vybrať veľa rôznych bodov, ktoré spolu so smerovým vektorom dajú parametrické vyjadrenie priamky $p$.
(Takže ste mohli dostať aj výsledok zapísaný inak, ako som uviedol ja - a stále to môže byť správne riešenie.)
Riešenie
Pre obe roviny z parametrického vyjadrenia vieme vyčítať bod a dva vektory. Môžeme začať tým, že si skúsime zjednodušiť vektorovú zložku.
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 &-3 \\
1 & 1 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 0 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-2 \\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 &-2 \\
1 & 1 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 1 & 1 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-2 \\
\end{pmatrix}
$
Z týchto výpočtov vidíme, že
$V_\alpha=[(1,2,1,-3),(1,1,1,-1)]=[(1,0,1,1),(0,1,0,-2)]$;
$V_\beta=[(0,1,1,-2),(1,1,0,-1)]=[(1,0,-1,1),(0,1,1,-2)]$.
Môžeme si tiež všimnúť, že keď už máme vektory generujúce $V_\alpha$ a $V_\beta$ v takejto podobe (=zodpovedajúca matica je v redukovanom stupňovitom tvare), tak z nich vieme ľahko vyčítať homogénne sústavy rovníc, ktorých množina riešení je $V_\alpha$ resp. $V_\beta$.
Ak ešte dopočítame pravé strany (dosadením nejakého bodu), tak dostaneme všeobecné vyjadrenie pre $\alpha$, $\beta$. Tu nám vyjde
$V_\alpha$: $\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 0 \\
1 &-2 & 0 &-1 & 0
\end{array}\right)$
$V_\beta$: $\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-1 & 1 & 0 & 3 \\
1 &-2 & 0 &-1 & 0
\end{array}\right)$
Nájdenie prieniku cez všeobecné vyjadrenie
Ak máme všeobecné vyjadrenie pre $\alpha$ aj pre $\beta$, tak jednoducho poskladaním týchto rovníc dokopy dostaneme sústavu rovníc, ktorej riešenia tvoria presne body prieniku $\mathcal B_\alpha\cap\mathcal B_\beta$.
Čiže prienik (a jeho všeobecné vyjadrenie) nájdeme jednoducho vyriešením tejto sústavy.
Spoiler:
\begin{align*}
x_1-x_3&=0\\
x_2-2x_3&=-3\\
3x_3+x_4&=6
\end{align*}
Toto je všeobecné vyjadrenie pre prienik. Vidíme, že prienik je jednorozmerný - je to priamka.
Takisto z tejto sústavy vieme dostať aj parametrické vyjadrenie.
Nájdenie prieniku cez parametrické vyjadrenie
Iná možnosť ako hľadať prienik je dať do rovnosti parametrické vyjadrenia pre $\alpha$ a $\beta$.
Pritom treba ale nezabudnúť na to, že táto sústava nám dá možné hodnoty parametrov pre ktoré dostaneme body prieniku. Z nich potom ešte treba vyčítať to, ako vyzerajú samotné body ležiace v prieniku.
Máme teda sústavu
\begin{align*}
1+s+t&=1+v\\
-1+2s+t&=u+v\\
1+s+t&=2+u\\
3-3s-t&=1-2u-v\\
\end{align*}
a po drobnej úprave
\begin{align*}
s+t-v&=0\\
2s+t-u-v&=1\\
s+t-u&=1\\
-3s-t+2u+v&=-2\\
\end{align*}
Spoiler:
$$p\equiv
\begin{cases}x_1=1+v\\x_2=-1+2v\\x_3=1+v\\x_4=3-3v\end{cases}$$
pričom $v\in\mathbb R$ je paramater. (Stačí dosadiť uvedené hodnoty do zadaných parametrických vyjadrení.)
Z parametrického vyjadrenia potom vieme dostať všeobecné vyjadrenie.