Riešenia$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}$
Bodovú/vektorovú zložku roviny $\alpha$ nájdem riešením sústavy:\\
$\left(\begin{array}{cccc|c}
3 &-3 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 &-1 & 1 & 2 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-1 & 1 & 2 \\
0 &-6 & 4 &-2 &-4 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-1 & 1 & 2 \\
0 & 3 &-2 & 1 & 2 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 &-2 & 1 & 2 \\
\end{array}\right)
$
Do roviny $\alpha$ patrí napríklad bod $(0,0,0,2)$.
Máme $V_\alpha=[(2,1,0,-3),(1,0,-1,-2)]$ a $V_p=[(1,1,2,0)]$.
Môže pre nás byť užitočné pozrieť sa aj na $V_\alpha+V_p$.
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 0 &-3 \\
1 & 0 &-1 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
1 & 0 &-2 &-3 \\
1 & 0 &-1 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 &-1 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 &-1 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 &-2 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &-1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$
Teda $(V_p + V_\alpha)^\bot=[(1,1,-1,1)]$.
S pomocou vecí, ktoré sme vypočítali vyššie, môžeme nájsť vzdialenosť viacerými spôsobmi.
Pomocná nadrovina. Nadrovina obsahujúca $\alpha$ a rovnobežná s $p$ je $x_1+x_2-x_3+x_4-2=0$. Vzdialenosť bodu $(1,1,2,-2)$ je
$$\frac{\abs{1+1-2-2-2}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2}}=\frac42=2.$$
Kolmý priemet. Ak si vezmeme bod $A=(1,1,2,-2)\in p$ a $B=(0,0,0,2)\in\alpha$, tak mám vektor $\vekt{AB}=(-1,-1,-2,4)$. Priemet do smeru $\vec n=(1,1,-1,1)$ je
$$\frac14 (-1,-1,-2,4)
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 & 1 \\
1 & 1 &-1 & 1 \\
-1 &-1 & 1 &-1 \\
1 & 1 &-1 & 1 \\
\end{pmatrix}=\frac14(4,4,-4,4)=(1,1,-1,1),
$$
ktorý má dĺžku $2$.
Nájdenie strednej priečky. Bod na priamke $P=(1+t,1+t,2+2t,-2)$.
Bod v rovine: $X=(2u+v,u,-v,2-3u-2v)$.
Vektor $\vekt{XP}=(1+t-2u-v,1+t-u,2+2t+v,-4+3u+2v)$.
Chceme aby tento vektor bol kolmý na $[(1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,1)]$, dostaneme: $5+t-5u-3v=0$, $5+t-4u-2v=0$, $-2+2t+3u+3v=0$.
Dostávame body $P=(2,2,4,-2)$ a $X=(3,3,3,-1)$. Medzi nimi je vektor $\vekt{PX}=(1,1,-1,1)$. Jeho dĺžka je $2$.
(Pri výpočte strednej priečky sme síce mali viac počítania. Ale vyrátali sme nie iba vzdialenosť, ale aj body $P\in p$ a $X\in\alpha$, ktoré určujú strednú priečku. A môžeme si tým pádom urobiť trochu spoľahlivejšiu skúšku - vieme skontrolovať to či bod patrí do $p$ resp. do $\alpha$ a aj to, či $\vekt{PX}$ je kolmý na zadané podpriestory.)