Injekcie, surjekcie a krátenie pri skladaní

[Martin Sleziak]

Síce niečo k riešeniu týchto úloh som už na fórum písal - viewtopic.php?t=561 - ale asi nezaškodí mať samostatný topic venonvaný len týmto dvom úlohám.$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}$

Riešenia

Tvrdenie. Nech $\Zobr fXY$, $\Zobr {g,h}YZ$ sú zobrazenia. Dokážte, že ak $f$ je surjekcia, tak platí $g\circ f=h\circ f$ $\Rightarrow$ $g=h$.

Dôkaz.
Zoberme si ľubovoľný prvok $y\in Y$. Potom existuje také $x\in X$, pre ktoré platí $f(x)=y$. (Toto je miesto, kde sme využili surjektívnosť $f$.)

Z rovnosti $g\circ f=h\circ f$ dostávame
$$g(f(x))=h(f(x)),$$
čo je presne rovnosť $$g(y)=h(y).$$

Vidíme, že $g(y)=h(y)$ platí pre každý bod $y$ z definičného oboru týchto zobrazení, čo znamená, že $g=h$.

Tvrdenie. Nech $\Zobr{g,h}XY$, $\Zobr fYZ$ sú zobrazenia. Dokážte, že ak $f$ je injekcia a platí $f\circ g=f\circ h$, tak $g=h$.

Dôkaz.
Uvažujme ľubovoľné $x\in X$. Na základe rovnosti $f\circ g=f\circ h$ dostávame, že platí
$$f(g(x))=f(h(x)).$$
Pretože $f$ je injektívne, platí potom aj
$$g(x)=h(x).$$
(Pripomeniem, že definícia injektívnosti hovorí $h(y_1)=h(y_2) \Rightarrow y_1=y_2$, tu sme ju využili pre $y_1=g(x)$ a $y_2=h(x)$.)

Ukázali sme, že $g(x)=h(x)$ platí pre každý prvok $x$ definičného oboru, a teda $g=h$.

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytovali v písomkách

Definícia injekcie.
Niektorí z vás ako definíciu injekcie uvádzali $x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$. (Alebo niečo ekvivalentné povedané trochu ina, napríklad: "Pre každé $x\in X$ existuje práve jedno $y\in Y$ ...")
V definícii injekcie je presne opačná implikácia. Táto implikácia platí pre každé zobrazenie. Hovorí totiž presne to, že ak zobrazujem ten istý prvok, aj obrazy sú rovnaké.

Poradie skladania.
Ak chcem niečo povedať o zobrazení $f\circ g$, tak obraz prvku $x$ bude $(f\circ g)(x)=f(g(x))$.
Ak ste to používali naopak, čiže ak ste tvrdili že

$f\circ g(x)=g(f(x))$

tk to nie je správne.

Ďalšie chyby.
Niektorí z vás chceli niekde v odvodení využívať $f^{-1}$. Inverzné zobrazenie k $f$ nemusí existovať - na prednáške sme si ukázali, že existuje práve vtedy, keď $f$ je bijekcia.