msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Ak sa chcete pozrieť, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=1400
viewtopic.php?t=1028
viewtopic.php?t=842
viewtopic.php?t=595
viewtopic.php?t=416

1. prednáška (17.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Konečná aditívnosť.

2. prednáška (24.2)
Asymptotická hustota. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$. (Pri dôkaze tejto vety sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
Ako dôsledok tejto vety sme dostali, že množina čísel, ktoré majú najviac $k$ prvočíselných deliteľov, má nulovú hustotu.
Ukázali sme, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula. Z tohoto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient.
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto sa možno oplatí spomenúť niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite - prinajmenšom také ste už určite videli): viewtopic.php?t=856

3. prednáška (2.3)
Asymptotická hustota.
Ukázali sme, že množina funkčných hodnôt funkcie $\sigma(n)$ má hustotu nula.
Ešte sme sa trochu rozprávali o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856
Ukázali sme $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. Limes inferior sa potom dalo použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$.
Logaritmická hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou.