Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)
Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)
Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1402
viewtopic.php?t=1204
viewtopic.php?t=1027
viewtopic.php?t=840
viewtopic.php?t=593
Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2019/20
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5518
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5518
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2019/20
1. cvičenie (20.2.)
Nejaký čas sme na dnešnom cvičení strávili aj s nejakou geometrickou predstavou okolo determinantu:
* O tom, že vlastne vidno ako riadkové úpravy menia plochu/objem príslušného rovnobežníka/rovnobežnostena.
* O tom, že determinant matice B mi vlastne hovorí, koľkokrát zväčší dané lineárne zobrazenie objem jednotkovej kocky (alebo iného útvaru).
* Ako to súvisí s $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.
Pozreli sme sa na niektoré príklady z 11deter.pdf. Konkrétne sme si ukázali rôzne postupy výpočtu na determinante $4\times4$. Okrem toho sme sa pozreli na úlohu 4 - kde sme videli, že determinant nám môže pomôcť pri rátaní hodnosti s parametrom. Pripomeniem, že viacero príkladov na hodnosť s parametrom je vypočítaných na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190
Ukázali sme si dôkaz Cramerovho pravidla pomocou súčinu matíc - taký ako je stručne vysvetlený tu: viewtopic.php?t=1497
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude malá písomka na determinanty.
Pripomeniem youtube kanál 3Blue1Brown, ktorý som na fóre už kedysi spomínal. Video o determinantoch sa mi zdá veľmi dobré (ako napokon aj iné videá, ktoré tu nájdete) - môže pomôcť s geometrickou predstavou týkajúcou sa pojmu determinantu.
Nejaký čas sme na dnešnom cvičení strávili aj s nejakou geometrickou predstavou okolo determinantu:
* O tom, že vlastne vidno ako riadkové úpravy menia plochu/objem príslušného rovnobežníka/rovnobežnostena.
* O tom, že determinant matice B mi vlastne hovorí, koľkokrát zväčší dané lineárne zobrazenie objem jednotkovej kocky (alebo iného útvaru).
* Ako to súvisí s $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.
Pozreli sme sa na niektoré príklady z 11deter.pdf. Konkrétne sme si ukázali rôzne postupy výpočtu na determinante $4\times4$. Okrem toho sme sa pozreli na úlohu 4 - kde sme videli, že determinant nám môže pomôcť pri rátaní hodnosti s parametrom. Pripomeniem, že viacero príkladov na hodnosť s parametrom je vypočítaných na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190
Ukázali sme si dôkaz Cramerovho pravidla pomocou súčinu matíc - taký ako je stručne vysvetlený tu: viewtopic.php?t=1497
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude malá písomka na determinanty.
Pripomeniem youtube kanál 3Blue1Brown, ktorý som na fóre už kedysi spomínal. Video o determinantoch sa mi zdá veľmi dobré (ako napokon aj iné videá, ktoré tu nájdete) - môže pomôcť s geometrickou predstavou týkajúcou sa pojmu determinantu.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5518
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2019/20
2. cvičenie (27.2.)
Determinanty. Nejaký čas sme strávili tým, že sme sa rozprávali o porovnaní počtu operácií pri výpočte pomocou riadkových operácií a pri výpočte pomocou Laplaceovho rozvoja. (Záver bol, že v prvom prípade treba rádovo $n^3$ operácií v druhom rádovo $n!$, čiže druhý spôsob je menej efektívny. Laplaceov rozvoj napriek tomu užitočný aj pri výpočtoch - ak máme maticu, kde je veľa núl. A tiež sa hodil pri rôznych dôkazoch.)
Spomenuli sme si výpočet inverznej matice pomocou adjungovanej matice. Vyskúšali sme si, že pre matice rozmerov $2\times2$ to vyjde
$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$
Pozreli sme sa na tieto príklady:
* Ak viete, že $195$, $403$ a $247$ sú násobky čísla $13$, viete ukázať (bez toho, aby ste ho museli vyrátať), že aj
$\begin{vmatrix}
1 & 9 & 5 \\
4 & 0 & 3 \\
2 & 4 & 7
\end{vmatrix}$ je celočíselný násobok $13$?
* Nech $A$ je matica $4\times 4$, ktorá obsahuje iba čísla $\pm1$. Ukážte, že $|A|$ je celočíselný násobok $8$.
Na konci sme si ešte povedali niečo o determinante matice takéhoto špeciálneho tvaru: $$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$ Dokázať sme to však stihli iba pre prípad $A=I$. Takúto vec neskôr ešte budeme neskôr potrebovať, takže vtedy sa k tomu vrátime. Pridám linku na článok na Wikipédii o blokových maticiach. A tiež na topic tu na fóre súvisiaci s takýmto determinantom: viewtopic.php?t=918
Dohodli sme sa, že nabudúce bude malá písomka týkajúca sa determinantov.
Determinanty. Nejaký čas sme strávili tým, že sme sa rozprávali o porovnaní počtu operácií pri výpočte pomocou riadkových operácií a pri výpočte pomocou Laplaceovho rozvoja. (Záver bol, že v prvom prípade treba rádovo $n^3$ operácií v druhom rádovo $n!$, čiže druhý spôsob je menej efektívny. Laplaceov rozvoj napriek tomu užitočný aj pri výpočtoch - ak máme maticu, kde je veľa núl. A tiež sa hodil pri rôznych dôkazoch.)
Spomenuli sme si výpočet inverznej matice pomocou adjungovanej matice. Vyskúšali sme si, že pre matice rozmerov $2\times2$ to vyjde
$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$
Pozreli sme sa na tieto príklady:
* Ak viete, že $195$, $403$ a $247$ sú násobky čísla $13$, viete ukázať (bez toho, aby ste ho museli vyrátať), že aj
$\begin{vmatrix}
1 & 9 & 5 \\
4 & 0 & 3 \\
2 & 4 & 7
\end{vmatrix}$ je celočíselný násobok $13$?
* Nech $A$ je matica $4\times 4$, ktorá obsahuje iba čísla $\pm1$. Ukážte, že $|A|$ je celočíselný násobok $8$.
Na konci sme si ešte povedali niečo o determinante matice takéhoto špeciálneho tvaru: $$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$ Dokázať sme to však stihli iba pre prípad $A=I$. Takúto vec neskôr ešte budeme neskôr potrebovať, takže vtedy sa k tomu vrátime. Pridám linku na článok na Wikipédii o blokových maticiach. A tiež na topic tu na fóre súvisiaci s takýmto determinantom: viewtopic.php?t=918
Dohodli sme sa, že nabudúce bude malá písomka týkajúca sa determinantov.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5518
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2019/20
3. cvičenie (5.3.)
Projekcie. Pozreli sme sa na príklad, ako vyrátať ortogonálnu projekciu pre daný vektor a maticu projekcie. (Úlohy 3 a 4 z 00skal.pdf.) Popritom sme videli nejaké spôsoby ako nájsť ortogonálnu resp. ortonormálnu bázu a tiež sme videli, ako nájsť bázu ortogonálneho doplnku.
Úloha na nájdenie matice projekcie je prepočítaná tu: viewtopic.php?t=824 Viacero príkladov z tém preberaných v tejto kapitole sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=993
Malá písomka bude s tém súvisiacich s ortogonálnym doplnkom, priemetmi, ortogonálnou bázou.
Projekcie. Pozreli sme sa na príklad, ako vyrátať ortogonálnu projekciu pre daný vektor a maticu projekcie. (Úlohy 3 a 4 z 00skal.pdf.) Popritom sme videli nejaké spôsoby ako nájsť ortogonálnu resp. ortonormálnu bázu a tiež sme videli, ako nájsť bázu ortogonálneho doplnku.
Úloha na nájdenie matice projekcie je prepočítaná tu: viewtopic.php?t=824 Viacero príkladov z tém preberaných v tejto kapitole sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=993
Malá písomka bude s tém súvisiacich s ortogonálnym doplnkom, priemetmi, ortogonálnou bázou.