Úloha 2.3.4

[MartinPasen]

Nech $A$ je gramova matica, $X$ je matica, kde riadky sú vstupné vektory $\vec{\alpha}_1, \vec{\alpha}_2, \dots, \vec{\alpha}_n$.
Označme $W$ podpriestor priestoru $V$ generovaný vektormi $\vec{\alpha}_1, \vec{\alpha}_2, \dots, \vec{\alpha}_n$ a nech $\vec{\beta}_1, \vec{\beta}_2, \dots, \vec{\beta}_m$ sú vektory, ktroré tvoria ortonormálnu bázu $W$.

Nech $\vec{\alpha'}_1, \vec{\alpha'}_2, \dots, \vec{\alpha'}_n$ sú zápismy pôvodných vektorov v novej báze, čiže $\vec{\alpha'}_1 B = \vec{\alpha}_1$ (kde $B$ predstavuje maticu, ktorej riadkami sú $\vec{\beta}_1, \vec{\beta}_2, \dots, \vec{\beta}_m$).

Keďže platí $<\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2> = \vec{\alpha'}_1 \vec{\alpha'}_2^T$, dostávame :
$A = X'X'^T$ ($X'$ je matica, ktorej riadky sú vektory $\vec{\alpha'}_1, \vec{\alpha'}_2, \dots, \vec{\alpha'}_n$)

Ak $\vec{\alpha}_1, \vec{\alpha}_2, \dots, \vec{\alpha}_n$ sú nezávilsé vektory, tak potom $n=m$, $X'$ je štvorcová regulárna matica a $|A|= |X'X'^T| = |X'||X'^T| = |X'|^2 > 0$.

Ak sú závislé, tak $n>m$ a $X'$ je zobrazenie z $n$ rozmerného pristoru do $m$ rozmerného a $X'^T$ je zobrazenie z $m$ rozmerného do podpriestoru $n$ rozmerného priestoru a teda $X'X^T$ je zobrazenie z $n$ rozmerného priestoru do podpriestoru $n$ rozmerného priestoru a teda táto matica nie je regulárna a jej determinant je nula, čize aj determinant Gramovej matice je nula.