Úloha 2.2.2 a)

[MatejStubniak]

$x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 5x_3^2$

$A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 2 \\
0 & 2 & 5
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 5
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
= D$ (diagonálny tvar)

Najprv sme od druhého riadku/stĺpca odrátali prvý riadok/stĺpec, potom sme od tretieho odrátali dvojnásobok druhého. V jednom kroku sme vykonali riadkovú aj stĺpcovú operáciu.

$I =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
2 & -2 & 1
\end{pmatrix}
= P$

Tie isté (iba) riadkové operácie.

Transformácia premenných je $P^{-1} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}$.

Platí $D = PAP^T$.