Úloha. Pre zadané afinné podpriestory $\alpha$ a $p$ v $\mathbb R^5$ nájdite ich strednú priečku.
\begin{gather*}
p \equiv
\begin{cases}
x_1=1-t\\
x_2=1\\
x_3=2+t\\
x_4=1+t \\
x_5=2+t; t\in\mathbb R
\end{cases}
\\
\alpha\equiv
\begin{cases}
x_1+x_2+2x_4+3x_5+3=0,\\2x_1+x_2-x_3+3x_4+4x_5+5=0.
\end{cases}
\end{gather*}
Zadanie nám súčasne hovorí, že $\alpha$ a $p$ sú mimobežné - inak by nemalo zmysel hľadať strednú priečku. (Uverme tomu, že sú naozaj mimobežné - ale vieme to aj skontrolovať pomocou vecí, ktoré budeme pri hľadaní strednej priečky počítať.)$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\intrv}[2]{\langle #1,#2 \rangle}
\newcommand{\skal}[2]{\intrv{\vec{#1}}{\vec{#2}}}
\newcommand{\skl}[2]{\intrv{#1}{#2}}$
Môžeme vyskúšať viacero rôznych postupov na výpočet strednej priečky. (Je veľa možností ako to rátať - samozrejme, aj vy môžete navrhnúť nejaké ďalšie a napísať ich sem alebo aj ak nebudete robiť celý výpočet aspoň navrhnúť možný postup.)
Skúsme predtým zosumarizovať nejaké veci čo vieme povedať o zadaných priestoroch.
Priamka je zadaná bodom $P=(1,1,2,1,2)$ a smerovým vektorom $\vec u=(-1,0,1,1,1)$.
Podpriestor $\alpha$ je zadaný sústavou, ktorú môžeme zjednodušiť na tvar:
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 &-1 & 1 & 1 &-2 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 2 &-1
\end{array}\right)$$
Vidíme, že $\dim(V_\alpha)=3$ a vieme vyčítať aj nejakú bázu pre tento podpriestor, napríklad
$$V_\alpha=[(1,-1,1,0,0),(1,1,0,-1,0),(1,2,0,0,-1)].$$
Podpriestor $\alpha$ obsahuje napríklad bod $A=(-2,-1,0,0,0)$.
Môžeme vypočítať aj $V^\bot$ pre $V=V_p+V_\alpha$, keďže pri niektorých možnostiach ako hľadať strednú priečku sa nám to môže hodiť.
Dostaneme $V=[(1,0,0,0,-1),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,1),(0,0,0,1,-1)]$ a $V^\bot=[(1,0,-1,1,1)]$.
*****
Rozložiť vektor. Môžeme skúsiť vektor $\vekt{AP}$ zapísať v tvare súčtu $\vekt{AP}=\vec x+\vec y+\vec z$, kde $\vec x\in V_p$, $\vec y\in V_\alpha$ a $\vec z\in V^\bot$.
Ak sa nám také vektory podarí nájsť, tak platí
\begin{align*}
\vekt{AP}&=\vec x+\vec y+\vec z\\
P-\vec x&= A+\vec y+ \vec z
\end{align*}
Teda pre body $X=P-\vec x$ a $Y=A+\vec y$ platí, že $X\in p$, $Y\in\alpha$ a $\vekt{YX}=\vec z\perp V$.
Teda úsečka $XY$ je hľadaná stredná priečka.
Tieto vektory môžeme nájsť napríklad tak, že sa pokúsime vyjadriť vektor $\vekt{AP}$ pomocou bázových vektorov priestorov $V_p$, $V_\alpha$, $V^\bot$. (Tie spolu dávajú bázu celého priestoru.)
Môžeme použiť ľubovoľné $A\in\body B_\alpha$ a $P\in\body B_p$. Zoberme napríklad tie body, ktoré sme už spomenuli vyššie - pre ne máme
$$\vekt{AP}=(3,2,2,1,2).$$
Rovnosť $\vekt{AP}=c_1\vec u+c_2\vec v_1+c_3\vec v_2+c_4\vec v_4+c_5\vec n$ (kde $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$ sme označili bázové vektory $V_\alpha$ a $\vec n$ je vektor generujúci $V^\bot$) nám dá sústavu:
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\
0 &-1 & 1 & 2 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 0 &-1 & 2 \\
1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-1 & 1 & 2
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac74 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \frac54 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac74 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac34 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
Pri označení, ktoré sme zaviedli vyššie nám vyšlo
\begin{align*}
\vec x&=(-\frac74,0,\frac74,\frac74,\frac74)\\
\vec y&=(\frac{15}4,2,\frac54,-\frac74,-\frac34)\\
\vec z&=(1,0,-1,1,1)
\end{align*}
Hľadané body sú
\begin{align*}
X&=P-\vec x=(\frac{11}4,1,\frac14,-\frac34,\frac14)\\
Y&=A+\vec y=(\frac74,1,\frac54,-\frac74,-\frac34)
\end{align*}
Skúška. Dá sa skontrolovať, že skutočne $X$ patrí priamke $p$, $A$ patrí do $\alpha$. Súčasne vektor $\vekt{YX}=(1,0,-1,1,1)$ je kolmý na priamku aj na rovinu.
Poznámka. V tomto prípade je priestor $V^\bot$ jednorozmerný, vďaka čomu by sme mohli ľahšie vyrátať vektor $\vec z$. Je to totiž práve ortogonálna projekcia vektora $\vekt{AP}$ na $V^\bot$ a takúto projekciu v prípade jednorozmerného podpriestoru vieme vyrátať pomerne jednoducho.
Takže sme mohli vypočítať najprv vektor $\vec z$ takýmto spôsobom, a potom pri hľadaní vektorov $\vec x$, $\vec y$ by sme mali v sústave o jednu neznámu menej.
Súčasne však upozorním, že vektor $\vec x$ nie je kolmý priemet do $V_p$. (Takisto ani $\vec y$ nie je kolmý priemet do $V_\alpha$.) Tak by to bolo iba vtedy, ak by $\alpha$ a $p$ boli na seba kolmé. (Takže aj keď je priestor $V_p$ jednorozmerný, nemôžeme vektor $\vec x$ nájsť jednoducho ako ortogonálnu projekciu.)
*****
Nájdenie parametrov cez skalárny súčin.
Držme sa označenia v predošlom riešení. T.j. $\vec v_1=(1,-1,1,0,0)$, $\vec v_2=(1,1,0,-1,0)$, $\vec v_3=(1,2,0,0,-1)$ sú vektory generujúce $V_\alpha$.
Potom $$X=P+a\vec u$$
je vlastne parametrické vyjadrenie, ktoré udáva ľubovoľný bod z priamky $p$. Ľubovoľný bod z $\alpha$ môžeme vyjadriť v tvare
$$Y=A+b\vec v_1+c\vec v_2+d\vec v_3.$$
Chceme nájsť hodnoty parametrov $a$, $b$, $c$, $d$ také, aby $\vekt{XY}$ bolo kolmé na $V=V_p+V_\alpha$.
V našom prípade teda máme
$$
\begin{cases}
x_1=1-a\\
x_2=1\\
x_3=2+a\\
x_4=1+a \\
x_5=2+a
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
y_1=-2+b+c+d\\
y_2=-1-b+c+2d\\
y_3=b\\
y_4=-c \\
y_5=-d
\end{cases}
$$
a $\vekt XY=(-3+a+b+c+d,-2-b+c+2d,-2-a-b,-1-a-c,-2-a-d)$.
Podmienky, z ktorých chceme tieto parametre vypočítať sú $\langle\vekt{XY},\vec u\rangle= \langle\vekt{XY},\vec v_1\rangle= \langle\vekt{XY},\vec v_2\rangle= \langle\vekt{XY},\vec v_3\rangle= 0$.
Môžeme buď skalárne vynásobiť týmito vektormi vyjadrenie, ktoré máme vyššie, alebo najprv trochu upraviť vyjadrenie pre $\vekt{XY}$ a počítať pomocou neho.
\begin{align*}
\vekt{XY}&=\vekt{PA}-a\vec u+b\vec v_1+c\vec v_2+d\vec v_3\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec u}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec u}-a\skal uu+b\skal{v_1}u+c\skal{v_2}u+d\skal{v_3}u=0\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec v_1}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec v_1}-a\skal u{v_1}+b\skal{v_1}{v_1}+c\skal{v_2}{v_1}+d\skal{v_3}{v_1}=0\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec v_2}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec v_2}-a\skal u{v_2}+b\skal{v_1}{v_2}+c\skal{v_2}{v_2}+d\skal{v_3}{v_2}=0\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec v_3}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec v_3}-a\skal u{v_3}+b\skal{v_1}{v_3}+c\skal{v_2}{v_3}+d\skal{v_3}{v_3}=0\\
\end{align*}
Ak vypočítame tieto skalárne súčiny, tak dostaneme sústavu rovníc
\begin{align*}
4a+2c+2d&=-2\\
-3b+d&=-3\\
-2a-3c-3d&=-4\\
-2a+b-3c-6d&=-5\\
\end{align*}
Riešením sústavy dostaneme $a=-\frac74$, $b=\frac54$, $c=\frac74$, $d=\frac34$ a teda:
\begin{align*}
X=P-\frac74\vec{u}=(\frac{11}4,1,\frac14,-\frac34,\frac14)\\
Y=A+\frac54\vec v_1+\frac74\vec v_2+\frac34\vec v_3
\end{align*}
Poznámka. Podmienku, že vektor $\vekt{XY}$ je kolmý na $\alpha$ aj $p$ som tu vyjadril pomocou skalárnych súčinov. Ak som si už predtým spočítal $V^\bot=[\vec n]$, tak by som ju mohol vyjadriť aj podmienkou $\vekt{XY}=k\vec n$.
Môžete skontrolovať, že rovnice ktoré dostaneme z $\vekt{PA}-a\vec u+b\vec v_1+c\vec v_2+d\vec v_3=k\vec n$ sú skoro rovnaké ako tie, ktoré nám vyšli pri predošlom postupe.