msleziak.com

Zadania

Ak ste zvedaví na príklady z písomiek z minulých rokov z takejto témy (=vzájomné polohy), tak sa môžete pozrieť sem: viewtopic.php?t=859

Pre zadané roviny $\alpha$, $\beta$ v~priestore $(\mathbb R^4,\mathbb R^4)$ zistite ich vzájomnú polohu. (T.j. zistite, či sú rovnobežné, rôznobežné, mimobežné, alebo či nenastane žiadna z~uvedených možností.)
$$
\alpha \equiv
\begin{cases}
x_1=1+2s+t\\
x_2=1+s+t\\
x_3=-1-t\\
x_4=1+s-t; s,t\in\mathbb R
\end{cases}
\qquad
\beta \equiv
\begin{cases}
x_1=2+2u+v\\
x_2=1+3u+v\\
x_3=-1+u+v\\
x_4=1+3u+2v; u,v\in\mathbb R
\end{cases}
$$

Zadania ostatných skupín: Zadanie vo všetkých skupinách bolo také, že prienik je jediný bod, z toho vyplýva, že zadané roviny sú rôznobežné.
Bod ležiaci v prieniku je:
A, C: $(2,2,-2,0)$
B, D: $(1,0,0,0)$

Súčet a prienik$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$

Vo všetkých skupinách je zadanie také, že $V_\alpha\oplus V_\beta=\mathbb R^4$ (t.j. $V_\alpha\cap V_\beta=\{\vec0\}$ a $V_\alpha+V_\beta=\mathbb R^4$, prienik je triviálny a súčet je celý priestor).
Môžete skúsiť porozmýšľať z toho, či len z tejto informácie už viete odvodiť, že prienik má byť práve jeden bod. (Alebo si to skúsiť aspoň trochu premyslieť na príkladoch v dvojrozmere a trojrozmere - ktoré sa ľahšie predstavujú a kreslia.)

Riešenie

Skúsim napísať riešenie aj so všetkými výpočtami pre skupinu A. (V ostatných skupinách sa to vyrieši podobne).
A aspoň trochu aj niečo k tomu, ako si vieme urobiť aspoň čiastočnú skúšku správnosti.

$$
\alpha \equiv
\begin{cases}
x_1=1+2s+t\\
x_2=1+s+t\\
x_3=-1-t\\
x_4=1+s-t; s,t\in\mathbb R
\end{cases}
\qquad
\beta \equiv
\begin{cases}
x_1=2+2u+v\\
x_2=1+3u+v\\
x_3=-1+u+v\\
x_4=1+3u+2v; u,v\in\mathbb R
\end{cases}
$$

Bez ohľadu na to, akým postupom to budeme rátať ďalej, asi as oplatí najprv skúsiť mať jednoduchšie bázy pre $V_\alpha$ a $V_\beta$.
(To je všeobecná rada, že ak chcem s nejakými vektormi neskôr rátať niečo ďalšie - riešiť nejakú sústavu, ktorú z nich dostanem; robiť z nich ortogonálnu bázu; alebo aj niečo iné - môže byť užitočné skúsiť najprv úpravu na RTM, ktorá mi dá bázu s viac nulami. Heuristika je zhruba taká, že viac núl znamená jednoduchšie vektory a jednoduchšie výpočty. Aj keď pri tejto skupine tam nijaký veľký rozdiel nevznikne.)
Dostaneme:
$V_\alpha= [(2,1,0,1),(1,1,-1,-1)] = [(1,0,1,2),(0,1,-2,-3)]$
$V_\beta= [(2,3,1,3),(1,1,1,2)] = [(1,0,2,3),(0,1,-1,-1)]$ Máme dve roviny, každá z nich je zadaná bodom a dvoma lineárne nezávislými vektormi.

Porovnanie parametrických vyjadrení.

Môžem porovnať parametrické vyjadrenie pre $\alpha$ a $\beta$, z toho dostanem aké sú hodnoty parametrov pre body v prieniku.
V tomto prípade dostanem jediné riešenie, a teda prienik je jediný bod.

Ak použijem pôvodné vyjadrenie, dostanem sústavu
\begin{align*}
1+2s+t&=2+2u+v\\
1+s+t&=1+3u+v\\
-1-t&=-1+u+v\\
1+s-t&=1+3u+2v
\end{align*}
resp.
\begin{align*}
2s+t-2u-v&=1\\
s+t-3u-v&=0\\
-t-u-v&=-2\\
s-t-3u-2v&=0
\end{align*}
Riešením sústavy dostanem $s=0$, $t=1$, $u=1$, $v=-2$, čo nám dáva bod $(2,2,-2,0)$.

Alebo môžem použiť vyjadrenie pomocou novej bázy:

\begin{align*}
1+s&=2+u\\
1+t&=1+v\\
-1+s-2t&=-1+2u-v\\
1+2s-3t&=1+3u-v
\end{align*}
a
\begin{align*}
s-u&=1\\
t-v&=0\\
s-2t-2u+v&=0\\
2s-3t-3u+v&=0
\end{align*}
Dostaneme $s=t=1$, $u=0$, $v=1$; čo nám dá bod $(2,2,-2,0)$.
Skúška:
Keď parametre, ktoré som vyrátal zo sústavy, dosadím do predpisu $x_1,\dots,x_4$ a tým skontrolujeme, že daný bod naozaj patrí do $\alpha$ aj do $\beta$.
(T.j. skúška je vlastne postup akým vyrátam bod ležiaci v prieniku.)

Pomocou všeobecného vyjadrenia.
Iná možnosť je napísať si všeobecné vyjadrenie pre $\alpha$ aj pre $\beta$.
V oboch prípadoch dostaneme dve lineárne rovnice, z týchto rovníc môžeme poskladať sústavu, ktorej riešenia sú presne body z prieniku.
Ako jediné riešenie nám vyjde bod $(2,2,-2,0)$. Skúška:
Bod, ktorý sme našli, môžeme dosadiť do všeobecného vyjadrenia. (Čo je vlastne to isté, ako skúška správnosti pre sústavu rovníc ktorú sme riešili.)

Všeobecné vyjadrenie môžeme nájsť tak, že najprv nájdeme homogénnu sústavu pre vektorovú zložku a potom dopočítame pravé strany tak, aby vyhovoval niektorý bod z $\alpha$ resp. z $\beta$.
Na hľadanie homogénnej sústavy k podpriestoru sme sa učili jednoduchý postup: viewtopic.php?t=1482
Keďže vo niektorých odovzdaných riešeniach bolo všeobecné vyjadrenie nájdené chybne, napíšem tu aspoň pre jednu z nich postup detailne. Skúška k všeobecnému vyjadreniu:
Pre homogénnu sústavu k $V_\alpha$, $V_\beta$ môžeme vyskúšať dosadiť nejaké vektory, pre nehomogénnu sústavu môžeme vyskúšať dosadzovať body z $\alpha$, $\beta$.
Alebo môžeme priamo dosadiť do všeobecného vyjadrenia výrazy zo zadaného parametrického vyjadrenia.

Poznámky k odovzdaným riešeniam

Niektorí z vás sa správne dostali k tomu, že prienik je jednobodový (alebo aspoň k tomu že prienik je neprázdny). Potom ste ale tvrdili, že $\alpha$ a $\beta$ nie sú rôznobežné.
Definíciu rôznobežných afinných podpriestorov máte sformulovanú tak, že $B_\alpha\cap B_\beta\ne\emptyset$ a súčasne $B_\alpha\nsubseteq B_\beta$, $B_\beta\nsubseteq B_\alpha$. (Inak povedané: Prienik je neprázdny a súčasne nie je jeden z nich podmnožinou druhého. Môžeme to sformulovať aj tak, že prienik je neprázdny a nie sú rovnobežné.)

Ak som porovnal parametrické vyjadrenia, tak to čo dostanem z tejto sústavy sú hodnoty parametrov. Aby som dostal bod (resp. body) ležiace v prieniku, tak nájdené hodnoty parametrov ešte treba dosadiť do parametrického vyjadrenia. (Napríklad ak mi vyšlo, že jediné riešenie je $s=0$, $t=1$, $u=1$, $v=-2$, tak to neznamená že bod v prieniku je $(0,1,1,-2)$.)

Niektorí ste nedopočítali riešenie sústavy - to je ok, ak už máte redukovaný tvar a vidíte že matica sústavy je regulárna, tak viete že bude mať práve jedno riešenie. (Ale rozumné je k tomu napísať aj nejaké zdôvodnenie.)
Výhoda toho, že človek skúsi nájsť aj prienik, je tá, že si môže urobiť nejaký typ skúšky.

Vyskytovali sa chyby pri nájdení homogénnej sústavy k danému podpriestoru. (Resp. pri nájdení vektorov kolmých na zadaný podpriestor. Oboje je vlastne prvý krok k nájdeniu všeobecného vyjadrenie.) To je dôvod prečo som sem toto písal pomerne detailne - hoci takéto niečo sme už videli veľakrát.