Stručný sumár jednotlivých prednášok

[Martin Sleziak]

Prednáška 25
https://www.youtube.com/watch?v=5jiUmbySvMQ
Systémy lineárnych rovníc II.
1:10 Systémy súvisia s maticami a aj lineárnymi zobrazeniami
5:15 Lineárny systém a matice, ktoré mu zodpovedajú
12:20 Definícia 8.1: Maticový zápis systému lineárnych rovníc
17:25 Matica sústavy, rozšírená matica sústavy
19:20 $R(S)$ = množina riešení systému $(S)$
22:23 ERO nemenia množinu riešení
23:35 Plán: Chceme sa dostať ku vzťahu medzi systémami a lineárnymi zobrazeniami
24:25 Systém $AX=B$ vs. $\vec xA^T=\vec b$, t.j. $f_{A^T}(\vec x)=\vec b$
33:45 Konkrétny príklad ilustrujúci tento vzťah
42:08 V tomto príklad máme práve jedno riešenie pre ľubovoľnú pravú stranu
47:38 Sumár - máme súvis medzi systémami a lineárnymi zobrazeniami
48:50 Definícia 8.2: Homogénny systém
49:55 Veta 8.3: Množina riešení homogénneho systému tvorí podpriestor.
51:37 Dva dôkazy vety 8.3
56:17 Veta 8.4: Dimenzia priestoru riešení je $n-h(A)$ (Wikipédia: Rank–nullity theorem)
57:40 Špeciálne prípady tejto vety:
1:00:03 Dôkaz vety 8.4 (v dôkaze je aj nejako popísaná báza priestoru riešení)
1:29:45 Ešte raz zosumarizované čo sme robili v dôkaze
1:30:43 Ďalší plán - dostaneme sa aj k nehomogénnym systémom

Prednáška 26
https://www.youtube.com/watch?v=AEspvadTsPk
Sumár vecí z predošlej prednášky.
5:20 Dôsledok 8.5: $h(A)=h(A^T)$. (T.j. transponovanie nezmení hodnosť.)
7:25 Poznámka $f_A\colon \mathbb F^m \to \mathbb F^n$ a $f_{A^T}\colon \mathbb F^n \to \mathbb F^m$
8:15 Zopakovanie hodnosti $h(A)=\dim(S_A)=$ dimenzia riadkového priestoru matice $A$, $h(A^T)=\dim(S_A^T)=$ dimenzia stĺpcového priestoru matice $A$
10:45 $S_A=\operatorname{Im}(f_A)$, $S_{A^T}=\operatorname{Im}(f_{A^T})$
12:35 Dôkaz dôsledku 8.5.
20:55 Príklad $h(A)=h(A^T)$ na konkrétnej matici
23:40 Definícia 8.6: Nehomogénny systém
24:40 Nehomogénny systém: môže sa stať aj to že nemá riešenie. (Homogénny systém vždy má aspoň nulové riešnie.)
25:55 Plán: Chceme ukázať podmienku, kedy má nehomogénny systém riešenie. Chceme nejako popísať ako vyzerajú všetky riešenia.
26:10 Veta 8.7: Systém je riešiteľný p.v.k. rovnosť matice sústavy je rovnaká ako hodnosť rozšírenej matice sústavy. (Frobeniova veta alebo tiež Rouché–Capelli theorem.)
27:45 Vidno to aj z toho ako riešime sústavy Gaussovou eliminačnou metódou
29:00 Dôkaz vety 8.7
36:38 Plán: Ak je systém riešiteľný, chceme popísať ako vyzerá množina riešení.
37:35 Veta 8.8 (veta o štruktúre množiny riešení nehomogénneho systému)
44:38 Niečo ku geometrickému významu a štruktúre množiny riešení
47:55 Dôkaz vety 8.8
53:53 Chceme teraz dať túto vetu do súvisu s niečím čo sme už robili
54:58 Poznámka: Súvis s faktorovým vektorovým priestorom
1:01:03 V budúcom semestri budú afinné priestory, ktoré zodpovedajú riešeniam systémov.
1:02:05 Príklad riešenia nehomogénneho systému
1:03:50 Spĺňa podmienku z vety 8.7
1:05:00 Ako vyjde množina riešení homogénneho systému
1:06:50 Počet parametrov t.j. dimenzia je $n-h(A)$
1:08:22 Nájdeme riešenie nehomogénneho systému
1:09:35 Takto sme vlastne našli všetky riešenia nehomogénneho systému
1:11:12 Sumár prednášok z témy "Systémy lineárnych rovníc II."
1:13:30 Zopakovanie čo všetko sme robili tento semester
1:16:10 V budúcom semestri: Afinné priestory (súvisia s nehomogénnymi systémami), skalárne súčiny - budeme vedieť počítať uhly a vzdialenosti, naučíme sa ďalšie veci o maticiach a lineárnych zobrazeniach