Placeholder - ak by sa náhodou našiel niekto, čo spätne doplní prednášky 1 až 4.$\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Lineárna algebra a geometria | Grupy , Abelovská grupa , grupy symetrií | prednáška 05
https://www.youtube.com/watch?v=5z1e6qBvVYo
0:08 Odteraz už nahrávame bez študentov.
0:50 Zopakujme z minula pojem grupy.
3:37 Pripomenieme príklady z minulého týždňa.
13:11 Grupa $(\mathbb Z_m,+)$; príklad 2a
14:20 Prvky sú zvyšky po delení m. Veta o delení so zvyškom:
viewtopic.php?t=1335
16:27 Ako definujeme operáciu $+_m$ sčitovania modulo $m$; máme $a+_mb=q$ pre $a+b=p\cdot m+q$, $0\le q\le m-1$.
22:45 Niektorí ste sa s týmto už mohli stretnúť.
23:00 Prečo to je pomerne prirodzená operácia.
27:37 $(\mathbb Z_m,+)$ je komutatívna grupa.
32:06 Vidíme, že pre ľubovoľné prirodzené číslo $m$ existuje aspoň jedna $m$-prvková grupa.
33:48 Príklad 2 bola vlastne inak zapísaná grupa $(\mathbb Z_3,+)$; $a\mapsto 0$, $b\mapsto 1$, $c\mapsto 3$. (Neskôr bude pojem izomorfizmu grúp, ale už na tomto mieste asi vidno, že je to "v podstate tá istá" grupa.)
38:00 Konkrétne pre $m=2$, $m=5$ ($m=4$ a $m=6$ zostalo ako d.ú).
45:40 Označenie $(\mathbb Z_m,+)$ (namiesto $+_m$), $k\times x= \underset{\text{$k$-krát}}{\underbrace{x+x+\dots+x}}$
49:29 Príklad 3a:
permutácie množiny $M_n=\{1,2,\dots,n\}$, dostaneme grupu $(S_n,\circ)$. Wikipédia:
Symmetric group
53:59 Dvojriadkový zápis pre permutácie
56:30 Koľko má táto grupa prvkov?
58:55 Skladanie a dvojriadkový zápis.
1:01:50 Ako to vychádza pre $n=3$, t.j. grupa $S_3$, ktorá obsahuje prvky $id=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{smallmatrix}\right)$, $\alpha_1=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{smallmatrix}\right)$, $\alpha_2=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{smallmatrix}\right)$, $\beta_1=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{smallmatrix}\right)$, $\beta_2=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{smallmatrix}\right)$, $\beta_3=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{smallmatrix}\right)$.
1:04:30 V tejto grupe platí $\beta_1\circ\beta_3\ne\beta_3\circ\beta_1$, t.j. je to nekomutatívna grupa.
1:14:14 D.ú.: tabuľka
1:14:34 $Z_6$ a $S_3$ sú dve grupy, ktoré majú 6 prvkov, ale sú rôzne.
1:16:00 Definícia 1.21:
Komutatívna (abelovská) grupa, príklady komutatívnych grúp.
1:17:12 Grupa $(S_n,\circ)$ nie je komutatívna pre $n\ge2$
1:17:28 Niels Henrik Abel,
Abel Prize
1:19:21 Príklad 3b:
Grupy symetrií
1:28:50 Grupa $D_n$; grupa symetrií pravidelného $n$-uholníka. Wikipédia:
Dihedrálna grupa
1:31:35 Poznámky o význame teórie grúp
1:31:55 Grupy sa vyskytujú všade.
1:32:12 Galoisova teória - vznikla z otázok o riešiteľnosti polynómov pomocou odmocnín.
1:34:34 Nejaké základné veci z tejto oblasti môžete počuť na predmetoch Algebra 1,2 (
1-MAT-220,
1-MAT-260), detailne sa to preberá na predmetoch Teória polí 1,2 (
2-MAT-215,
2-MAT-216).
Wikipédia:
Abel–Ruffini theorem
1:35:25 Grupy vo fyzike - napríklad grupy súvisiace s elementárnymi časticami.
1:37:16 Pre nás (na tejto prednáške) je hlavný význam grúp, že vo vektorovom priestore máme komutatívnu grupu $(V,+)$.
Lineárna algebra a geometria | Podgrupy | prednáška 06
Zopakovanie definície grupy $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
1:40 Označenie $1_G$ a $(x^{-1})_G$; ak potrebujeme pracovať s viacerými grupami
2:12 Príklady grúp
3:07 Grupy symetrií nám môžu dať nejakú informáciu o danom systéme.
5:51 Dnes sa budeme (po nejakých príkladoch a malej vete) zaoberať podgrupami.
6:45 Príklad 5: Priamy súčin grúp: z grúp $(G,*_G)$ a $(H,*_H)$ dostaneme $(G\times H,*_{G\times H})$, kde $(x,y)*_{G\times H}(x',y')=(x*_Gx',y*_Hy')$.
11:40 Overenie, že dostaneme grupu
13:48 Príklad $(\mathbb R^2,+)$
18:07 Podobne dostaneme $(\mathbb R^n,+)$.
19:00 Grupy $\mathbb Z_{mn}$ a $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$
20:19 Veta 1.22: $\inv{1}=1$, $\inv{(\inv x)}=x$, $\inv{(x*y)}=\inv y * \inv x$
35:43 Poradie je dôležité v nekomutatívnych grupách.
36:02 Príklad na prvkoch z $S_3$
37:32 D.ú.: $x*x=x$ $\Rightarrow$ $x=1$
38:38 Podgrupy
39:45 Ak máme grupu $(G,*)$, tak nás budú zaujímať také podmnožiny množiny $G$, ktoré opäť s touto operáciu tvoria grupu.
42:20 Definícia 1.23:
Podgrupa
46:00 Poznámka: Vzťah $*'$ a $*$ pri definícii $x*'y=x*y$.
51:15 V praxi často označujeme $*'$ a $*$ rovnako.
52:37 Príklad 0: $\{1\}$ a $G$ sú podgrupy $G$
54:00 $2\mathbb Z$ v $(\mathbb Z,+)$ (párne čísla)
56:08 $2\mathbb Z+1$ (nepárne čísla) netvoria podgrupu.
57:46 Nezáporné celé čísla netvoria podgrupu.
59:16 Príklady podgrúp $(\mathbb R^2,+)$
1:04:13 Chceme si rozmyslieť jednoduchší spôsob, ako overiť, či ide o podgrupu.
1:05:15 Veta 1.25: Kritérium podgrupy
1:07:40 Aké implikácie máme v tejto vete a budeme ukazovať v dôkaze.
1:10:10 Dôkaz vety 1.25.
1:27:15 Bol to pomerne formálny dôkaz - oplatí sa nad ním zamyslieť.
1:28:07 Ideme použiť túto vetu na overenie, či ide o podgrupu.
1:28:25 $m\mathbb Z=\{mz; z\in\mathbb Z\}$ v $(\mathbb Z,+)$
1:30:40 $\mathbb Q^+$ v $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$
1:31:46 $\{0,1\}$ nie je podgrupa $(\mathbb Z,+)$
1:32:13 Neskôr budeme vidieť, že v $(\mathbb Z,+)$ neexistuje žiadna konečná podgrupa.
1:32:20 $\{-1,1\}$ je podgrupa v $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$
1:33:05 Pozrieme sa aj na nejaké príklad, keď máme konečnú grupu.
1:33:10 $2\mathbb Z_4=\{0,2\}$ v $\mathbb Z_4$
1:33:43 $\{0,1\}$ nie je podgrupa $\mathbb Z_4$
1:33:58 $(S_M)_x=\{f\in S_M; f(x)=x\}$ (zobrazenia, ktoré nemenia $x$)
1:35:20 $\Delta=\{(x,x); x\in\mathbb R\}$ v $(\mathbb R^2,+)$
1:36:56 Všeobecnejšie: $\Delta_{(k,l)}=\{(kx,lx); x\in\mathbb R\}$ v $(\mathbb R^2,+)$ (pre $(k,l)\ne(0,0)$)
1:38:39 Ak $m<n$ tak $\mathbb Z_m$ je podmnožina $\mathbb Z_n$; ale nie je to podgrupa.
1:39:15 Kružnica nie je podgrupa $(\mathbb R^2,+)$
Prednáška 7 - homomorfizmy grúp.
Opakovanie - podgrupy, kritérium
7:15 Homomorfizmy grúp
10:26 Definícia 1.16: Homomorfizmus grúp
13:15 Príklad: $f\colon(\mathbb R,+)\to(\mathbb R,+)$, $f(x)=2x$ je homomorfizmus, $f(x)=2+x$ nie je homomorfizmus
17:10 Veta 1.27: Obraz neutrálneho a obraz inverzného prvku
20:10 Dôkaz vety 1.27.
29:20 Príklady homomorfizmov.
0) $f(x)=1_H$
1) $x\mapsto mx$ je homomorfizmus $(\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+)$, rovnaký predpis funguje pre $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$
Zobrazenie $x\mapsto m+x$ nie je homomorfizmus, ak $m\ne0$
2) $f\colon(\mathbb Z_2,+)\to(\mathbb Z_4,+)$, $f(x)=2x$
39:30 $f_m\colon (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z_m,+)$, $x\mapsto q_x$ (zvyšok po delení číslom $m$)
47:25 5) $(\mathbb R^2,+)\to(\mathbb R^2,+)$, $(x,y)\mapsto(ax+cy,bx+dy)$
$(\mathbb R,+)\to(\mathbb R^2,+)$, $(x,y)\mapsto(kx,lx)$
$(\mathbb R^2,+)\to(\mathbb R,+)$, $(x,y)\mapsto(ux+vy)$
58:35 Plán: Ideme sa pozrieť na ďalšie vlastnosti homomorfizmov.
59:05 Chceme sa pozrieť na to, ako sa homomorfizmy správajú vzhľadom k podgrupám.
1:03:05 Veta 1.28: Obraz podgrupy je podgrupa.
1:15:30 Veta 1.29: Vzor podgrupy je podgrupa.
Prednáška 8: podgrupy, homomorfizmy$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
Zopakovanie viet z konca predošlej prednášky
2:30 Špeciálne prípady: $f(\{1_G\})=\{1_H\}$, $f(G)=\operatorname{Im}f$, $f^{-1}(H)=G$, $f^{-1}(\{1_H\})=\operatorname{Ker} f$
6:20 Príklad: $f_m\colon (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+)$, $x\mapsto m\cdot x$ zobrazí $k\mathbb Z$ na $(mk)\mathbb Z$. Obrátene, vzor podgrupy $(lm)\mathbb Z$ je $l\mathbb Z$. Domáca úloha: Vzor pre $n\mathbb Z$.
9:45 Príklad: Pre $\Zobr{q_m}{(\Z,+)}{(\Z_m,+)}$, $x\mapsto q_x$ máme $\operatorname{Ker}(q_m)=m\Z$
13:50 Príklad 5: $\Zobr{g_{(k,l)}}{\R}{\R^2}$, $x\mapsto (kx,lx)$ pre $(k,l)\ne(0,0)$. Obraz je priamka, jadro je triviálne.
16:45 Príklad 5: $\Zobr{h_{(u,v)}}{\R^2}{\R}$ $(x,y)\mapsto(ux+vy)$ pre $(u,v)\ne(0,0)$. Špeciálne pre $(u,v)=(1,1)$ máme $h(x,y)=x-y$. Obraz je $\R$, jadro je diagonála $\Delta=\{(x,x); x\in\R\}$.
21:00 Definícia 1.30:
Jadro homomorfizmu $\operatorname{Ker} f$.
24:00 Prečo nás zaujíma jadro, súvis s injektívnosťou.
33:50 Veta 1.31: Homomorfizmus grúp je injektívny p.v.k. $\operatorname{Ker} f=\{1_G\}$.
46:00 Definícia 1.32, monomorfizmus, epimorfizmus, izomorfizmus.
49:00 Izomorfné grupy: $G\cong H$. Čo znamená, že grupy sú izomorfné.
57:05 $(\R,+)\cong(\R^+,\cdot)$
1:02:15 Veta 1.33: Ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
1:08:00 Veta 1.34: Zloženie homomorfizmov je homomorfizmus. Zloženie izomorfizmov je izomorfizmus.
1:10:25 Plán čo chceme robiť ďalej: Faktorové grupy.
Lineárna algebra a geometria | Faktorové grupy | prednáška 09
0:14 Čo sme robili na predošlých prednáškach$\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}$
0:43 Pripomenutie: Ak máme homomorfizmus $f\colon G\to K$, tak máme podgrupu $\Ker f$.
1:59 Chceme si položiť otázku, či sa tento proces dá v istom zmysle otočiť; t.j. ak máme podgrupu $H$ v komutatívnej grupe $G$, tak chceme dostať grupu $G/H$ a homomorfizmus $G\to G/H$ tak, že $H=\Ker f$.
Teraz pracujeme iba s prípadom, keď $G$ je komutatívna. Všeobecný prípad budete vidieť v druhom ročníku na predmete
Algebra (1). (Poistní matematici napríklad na predmete
Úvod do vysokoškolskej matematiky (2).)
4:30 Relácia ekvivalencie
6:15 Definícia 1.35:
relácia
9:22 Príklady (rodinné vzťahy)
13:16 Definícia 1.36:
relácia ekvivalencie
19:10 Príklad - športovci a tímy
25:10 $M/\sim$ = množina tímov
25:35 Idea: Všeobecne chceme vidieť, že relácia ekvivalencie $\sim$ dáva rozklad $M$ disjunktné podmnožiny-
26:16 Definícia 1.37: trieda ekvivalencie $[y]=\{x\in M; x\sim y\}$, prvok $y$ sa nazýva reprezentant triedy ekvivalencie $[y]$.
29:40 Príklad - ako vyzerajú v našom príklady triedy a ich reprezentanti
31:45 Veta 1.38: Platia vlastnosti:
* $[y]\ne\emptyset$
* $[x]=[y]$ $\Leftrightarrow$ $x\sim y$
* $[x]\ne [y]$ $\Rightarrow$ $[x]\cap[y]=\emptyset$
* $M=\bigcup\limits_{x\in M} [x]$
40:29 Táto veta vlastne hovorí, že ak mám reláciu ekvivalencie na $M$, tak triedy rozkladajú množinu $M$ na disjunktné podmnožiny.
40:57 Definícia 1.39: $M/\sim=\{[x]; x\in M\}$ ("množina tímov")
43:10 Chceme teraz dostať nejako do hry grupy (a podgrupy).
44:20 Veta 1.40: Ak definujeme $\sim$ ako $x\sim y \Leftrightarrow x-y\in H$, tak dostaneme reláciu ekvivalencie na $G$. Množinu tried ekvivalencie oznaíčme $G/H$.
Wikipédia:
Coset
46:20 Dôkaz tejto vety prejde aj bez predpokladu, že $G$ je komutatívna. (Budeme tento predpoklad však potrebovať v ďalších veciach, ktoré budeme robiť.)
46:52 Označenie $x-y:=x+(-y)$
47:36 Dôkaz vety 1.40
53:30 Chceme vetu 1.40 ilustrovať na konkrétnych príkladoch.
53:45 Príklad 2: $m\mathbb Z$ je podgrupa $\mathbb Z$; triedy ekvivalencie sú $[y]=\{x\in\mathbb Z; x-y=k\cdot m\text{ pre nejaké }k\in\mathbb Z\}$, množina $\mathbb Z/m\mathbb Z$ má $m$ prvkov (resp. v našom príklade s $m=4$ má štyri prvky).
59:45 Príklad 5: $\Delta=\{(x,x); x\in\mathbb R\}\subset \mathbb R^2$; triedy ekvivalencie sú rovnobežné priamky
1:06:31 Zatiaľ máme množinu $G/H$; chceme na nej aj binárnu operáciu a dostať grupu.
1:07:35 Veta 1.41: Predpis $[x]\boxplus[y]=[x+y]$ definuje binárnu operáciu na $G/H$ a $(G/H,\boxplus)$ je komutatívna grupa.
1:11:20 Čo znamená zápis: $[x]\boxplus[y]=[x+y]$ (a ukážka na konkrétnom príklade).
1:13:38 Čo všetko treba v dôkaze vety 1.14.
1:13:35 Dôkaz, že binárna operácia $\boxplus$ nezávisí od výberu reprezentantov (je dobre definovaná).
1:17:30 Idem ešte ukázať, že to je komutatívna grupa. Asociatívnosť - d.ú.
1:17:55 Neutrálny prvok je $[0]$.
1:18:51 Inverzný prvok $-[x]=[-x]$.
1:19:50 Vetu 1.41 sme už ilustrovali na príklad $\mathbb Z/m\mathbb Z$.
1:20:29 Na príklade $\mathbb R/\Delta$
1:23:13 Čo plánujeme robiť nabudúce.