msleziak.com

Zadanie

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Nech $(G,*)$ je grupa. Pre $a\in G$ definujme $f_a\colon G\to G$ predpisom $f_a(g)=a*g*\inv a$. Dokážte, že pre každé $a\in G$ je zobrazenie $f_a$ bijektívne.

Do istej miery by vám táto úloha mohla pripomínať úlohu, ktorú ste videli na cvičeniach - s funkciou $g\mapsto a*g$.

Riešenie a poznámky k nemu

Budem používať, označenie $f_a(x)=a*x*\inv a$, jednoducho z toho dôvodu, že sme viac zvyknutí používať ako premennú písmenko $x$. (Samozrejme, aj $g$ je z istého pohľadu veľmi rozumná voľba - pripomína nám, že tento prvok patrí do $G$.)

Najprv nesprávne riešenie
Napíšem tu nejaký postup, počítam s tým, že by ste mali vedieť povedať, v čom je problém.

Dostávame:
\begin{align*}
f_a(x)
&=a*x*\inv a\\
&=x*a*\inv a\\
&=x*e=x
\end{align*}
Zistili sme, že $f_a(x)=x$ pre ľubovoľné $x\in G$. Teda $f_a=id_G$. Identické zobrazenie je bijekcia.

Vedeli by ste povedať, prečo toto nie je správne riešenie zadanej úlohy? Ak som vás nie celkom presvedčil, že skutočne je v uvedenom postupne nejaký problém, tak tu napíšem ešte o čosi viac. Injektívnosť a surjektívnosť
Môžeme skúsiť postupovať presne na základe definície bijektívnosti - t.j. overiť či $f_a$ je injektívne a či $f_a$ je surjektívne.

Ak chceme overiť injektívnosť, tak máme skontrolovať, či z $f_a(x_1)=f_a(x_2)$ vyplýva $x_1=x_2$. Na overenie surjektívnosti by sme mali zistiť, či pre každé $y\in G$ existuje $x\in G$ také, že $f_a(x)=y$. Ukázali sme, že $f_a$ je injektívne aj surjektívne, teda je bijektívne. $\square$

Poznámka. Viacerí z vás ste sa pri zdôvodnení surjekcie odvolali na jednoznačnosť riešenia rovníc v grupe.
(Chceme $x$ také, že $a*x\inv a=y$. Vieme, že $x'*\inv a=y$ má v grupe riešenie. A $a*x=x'$ má v grupe riešenie. Takto nájdeme hľadané $x$.)
Takéto riešenie je ok. (A je v poriadku použiť takúto vec, keďže táto veta bola na prednáške.)
Dokonca by sme ju mohli použiť aj na zdôvodnenie injektívnosti, keďže vieme, že v grupe majú rovnice takéhoto tvaru jediné riešenie.

Inverzné zobrazenie
Vieme, že nejaké zobrazenie je bijektívne p.v.k. k nemu existuje inverzné. Ak by sme vedeli prísť na to, ako vyzerá inverzné zobrazenie k $f_a$, tak to je iná možnosť ako zdôvodniť, že $f_a$ je bijekcia.

Inverzné zobrazenie k $f_a$ je
$$g(x)=\inv a*x*a.$$
Aby som ukázal, že $g$ je naozaj inverzné k $f_a$, tak by som mal skontrolovať, že $g\circ f_a=id_G$ aj $f_a\circ g=id_G$.
To sú ale pomerne priamočiare výpočty - akonáhle skontrolujem, že to je naozaj tak, ukázal som tým súčasne, že $f_a$ je naozaj bijekcia. Asi zaujímavejšia je otázka, ako prísť na to, že $g(x)=\inv a*x*a$ by mohol byť vhodný kandidát na $\inv{f_a}$.
Ak sa napríklad pozriete na výpočty, ktoré sme robili, keď sme v predošlom riešení hľadali vzor k $y$, tak vidíte, že nám tam vyšiel nejaký výraz, ktorý vyzerá takto. (Dostali sme, že $x=g(y)$.)

Inverzné zobrazenie ešte raz

Všimnime si, že inverzné zobrazenie ktoré sme našli, je v skutočnosti zobrazenie $f_{\inv a}$.

Ak sa nám podarí skontrolovať, že platí
\begin{align*}
f_{a*b}&=f_a\circ f_b\\
f_e&=id_G
\end{align*}
tak máme
\begin{gather*}
f_a\circ f_{\inv a} = f_{a*\inv a} = f_e = id_G\\
f_{\inv a}\circ f_a = f_{\inv a*a} = f_e = id_G
\end{gather*}
Ak sme si teda všimli, že pre skladanie takýchto zobrazení platia tieto dve pravidlá, tak overenie, že $\inv{f_a}=f_{\inv a}$ sa dá zapísať veľmi stručne.

Ak nám niekto tieto vlastnosti prezradil, tak nie je ťažké skontrolovať, že naozaj platia. Vnútorné automorfizmy

Napriek tomu, že veci ako homomorfizmy grúp budeme preberať až v budúcom semestri, aspoň ich tu spomeniem. (Keď už sme na takéto zobrazenia narazili, nie je dôvod tajiť, že majú nejaké ďalšie vlastnosti - a prípadne, keď sa budeme na algebre 2 učiť nejaké veci o grupách, tak sa môžete k takýmto zobrazeniam vrátiť.)

Zobrazenie $f_a\colon G\to G$ nie je iba bijekcia, je to aj grupový homomorfizmus. Tým sa myslí ti, že sa rozumne správa vzhľadom na grupovú operáciu.

Homomorfizmy takéhoto špeciálneho tvaru sa volajú vnútorné automorfizmy grupy $G$.

Zobrazenie $a\mapsto f_a$ je homomorfizmus z $G$ do grupy automorfizmov grupy $G$, toto je presne to, čo vyjadruje rovnosť $f_{a*b}=f_a\circ f_b$.

Poznámky k odovzdaným riešeniam$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Veľa z vás tvrdilo, že $f_a=id_G$; toto funguje ak $G$ je komutatívna grupa, podrobne som o tom písal vyššie.

Argument na základe počtu prvkov:

Niekde sa vyskytol taký argument, že:
* Ak $f\colon G\to G$ je injekcia, tak už to musí byť bijekcia.
* Ak $f\colon G\to G$ je surjekcia, tak už to musí byť bijekcia.

Ako zdôvodnenie ste uviedli, že sa pozeráme zobrazenie $f$ kde obor aj koobor majú rovnaký počet prvkov. Preto:
a) Ak už vieme, že to je injekcia, tak obrazy rôznych prvkov sú rôzne, dostávame $|G|$ rôznych obrazov, na každý prvok z $G$ sa musí niečo zobraziť. Z čoho vidno, že $f$ je surjekcia.
b) Ak už vieme, že je to surjekcia, tak na každý prvok z $G$ sa niečo zobrazí. Dostali sme teda $|G|$ rôznych obrazov - čo sa nám určite nestane ak by sa niečo opakovalo, t.j ak by sa viac prvkov zobrazilo na to isté. Teda $f$ je určite injekcia.

Toto by naozaj fungovalo, ale iba ak $G$ je konečná množina.
Pre konečnú množinu $G$ a zobrazenie $G\to G$ skutočne z injektívnosti vyplýva surjektívnosť a obrátene.

Ak sa však pozeráme aj na nekonečné množiny, tak takéto veci už nemusia platiť. Môžete sa zamyslieť nad tým, či by ste vedeli vymyslieť nejaké jednoduché kontrapríklady. Ako overím, či niečo je inverzné zobrazenie

Ako jednu z možností na dôkaz, že zobrazenie je bijekcia som spomenul, že stačí ukázať existenciu inverzného zobrazenia.
Ak tvrdíme, že $g$ je inverzné k $f$, tak by sme mali skontrolovať, že $g\circ f=id$ aj $f\circ g=id$.
(Objavilo sa riešenie, kde bolo len jedno poradie. Aj keď v tomto príklade to asi až tak veľmi nevadí, lebo overenie v druhom poradí je zhruba rovnako ľahké(ťažké.)

Objavilo sa aj riešenie takéhoto typu, kde ste napísali:

$(a\circ g\circ \inv a)\circ x=e$
$$(a\circ g\circ \inv a)\circ (a\circ \inv g \circ \inv a) = a\circ g \circ (\inv a \circ a) \circ \inv g \circ \inv a = \dots = e$$
Inverzné zobrazenie k $f_a$ je dané predpisom $\inv{f_a}(g)=a\circ \inv g \circ \inv a$.

(Neodpisoval som celé odvodenie z písomky.)

Toto nie je správne. (Nie je pravda, že $g\mapsto a\circ \inv g \circ \inv a$ je inverzné zobrazenie k $f_a$.)
Je možné, že vás trochu mohlo popliesť to, že symbol $\circ$ sa tu vyskytuje v dvoch významoch aj ako operácia v grupe $G$ aj ako znak pre skladanie.
Prepíšem to preto radšej tak, že použijem $*$ pre operáciu v grupe.

To čo je tu spravené, je to že sa hľadá prvok $x$ taký, že $(a* g*\inv a)*x=e$; to je presne spôsobom akým by sme našli inverzný prvok k $(a*g*\inv a)$ v grupe $G$.
My chceme niečo iné - chceme inverzné zobrazenie k $x\mapsto a* g*\inv a$. Ako vyzerá toto inverzné zobrazenie som napísal vyššie, keď som písal rôzne možnosti riešenia tejto úlohy.