Zistite, či daná množina tvorí pole (s obvyklým sčitovaním a násobením reálnych čísel).
Explicitne napíšem, že veci, ktoré sme tento týždeň dokázali na cvičení, sa môže používať bez toho, aby k nim bolo treba znovu písať zdôvodnenie do odovzdanej úlohy.
A: $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Z\}$
B: $F_2=\{a+b\sqrt2; a\in\mathbb Q, b\in\mathbb Z\}$
C: $F_3=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb R\}$
D: $F_4=\{a+b\sqrt2; a\in\mathbb Z, b\in\mathbb Q\}$
Riešenie
Z týchto úloh je veľmi jednoduchá skupina C.
Vtedy totiž máme priamo $F_3=\mathbb R$, čiže stačí použiť, že reálne čísla tvoria pole.
V ostatných prípadoch nedostaneme pole.
Na cvičení sme si ukázali:
$$(\forall a,b\in\mathbb Q) (a+b\sqrt2=0 \Leftrightarrow a=b=0) \tag{*}$$
Z toho sa už pomerne ľahko odvodí, že
$$(\forall a,b,c,d\in\mathbb Q) (a+b\sqrt2=c+d\sqrt2 \Leftrightarrow a=c \land b=d) \tag{**}$$
Spoiler:
Ani jedna z množín $F_1$, $F_2$, $F_4$ netvorí pole. Problém je s existenciou inverzných prvkov a v prípade $F_3$ a $F_4$ aj s tým, že násobenie nie je binárna operácia.
Čísla $2$ aj $\sqrt2$ patria do všetkých uvedených množín.
Pre ich prevrátané hodnoty dostaneme:
$$\frac12=\frac12+0\cdot\sqrt2,$$
Na základe $(**)$ teda vidíme, že v tvare $a+b\sqrt2$ s $a,b\in\mathbb Q$ sa dá vyjadriť iba ak $a=\frac12$.
Vidíme teda, že $\frac12\notin F_1,F_4$.
$$\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2 = 0 + \frac12\sqrt2,$$
podľa $(**)$ sa toto číslo dá v tvare $a+b\sqrt2$ s $a,b\in\mathbb Q$ vyjadriť iba ak $b=\frac12$.
Teda $\frac1{\sqrt2}\notin F_1,F_2$.
V $F_1$, $F_2$ aj $F_4$ sme našli taký prvok, že multiplikatívny inverz nepatrí do tejto množiny.
Tiež si môžeme všimnúť, že $x=\frac12\sqrt2\in F_4$, ale $x^2=\frac12\notin F_4$.
Pre $y=\frac12$ a $z=\sqrt2$ máme $y.z\in F_2$ ale $yz=\frac12\sqrt2\notin F_2$.
(Opäť to zdôvodníme na základe $(**)$.)
Teda pre $F_2$ a $F_4$ násobenie nie je binárna operácia na tejto množine.