Definicia direktného súčtu N podpriestorov (Uloha 4.5.5*)

[grochal2]

Úloha 4.5.5*
JG: komentáre inline

Nech $S_1,...,S_n$ a $P$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$.
Ukážeme že nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
$\space\space$(i) $P = S_1+...+S_n$ a pre každé $i=1,...,n$ platí $S_i \cap (S_1,...,+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n ) = \{ \vec 0\}$
$\space\space$(ii) Každý vektor $\vec \gamma \in P$ sa dá práve jedným spôsobom vyjadriť v tvare $\vec \gamma = \vec \alpha_1 + ... + \vec \alpha_n$,
kde $\vec \alpha_i \in S_i$ pre $i= 1,...,n$

*Ktorúkoľvek z týchto ekvivalentných podmienok môžeme zobrať za definíciu direktného súčtu $S_1\oplus ... \oplus S_n$

******
Dôkaz:
Nech $S^*_i = (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n)$ $\space$ (toto robíme čisto z hladiska čitateľnosti dôkazu, "$S^*_i$" s indexom $i$ pretože závisí od voľby $i$)

Ekvivalenciu dokážeme ako dve implikácie ( $(i)\Leftrightarrow(ii) \space\space\Leftrightarrow\space\space (i)\Rightarrow(ii) \land (ii)\Rightarrow(i)$ )
No predtým dokážeme Lemmy 1,2, ktoré nám uľahčia dôkaz.

******
Lemma 1:
$$
\forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\} \Rightarrow S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n) = \{\vec 0 \}
$$
Pretože $(S_{i+1} + ... + S_n) \subseteq (S_1 + ... +S_{i-1}+S_{i+1}+ ... + S_n) $, obrátením implikácie $B \subseteq B': x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \cap B'$ platí:
$$
\vec\gamma \notin S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) \Rightarrow \vec\gamma \notin S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n)
$$
Ak $\vec\gamma$ patrí do $ S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n) $ potom musí patriť aj do $S_i \cap (S_1 + ... +S_{i-1}+S_{i+1}+ ... + S_n)$ (inak by implikácia neplatila), no podľa predpokladu, jediný vektor ktorý patrí do $S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n)$ je vektor $\vec0$,
pretože $S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n)$ je podpriestor, obsahuje $\vec0$, teda naozaj platí $S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n) = \{\vec 0 \}$


Lemma 2:
$$
\text{Ak }\forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\} \\
\text{Potom: } d(S_i+S^*_i) = \sum\limits_{i=1}^n d(S_i)
$$
JG: v zadaní sa nehovorí o konečne rozmerných priestoroch, čiže pojem dimenzie by sa v dôkaze nemal použiť (ani veta 4.5.4), bolo by dobre spraviť dôkaz, pri ktorom túto lemu nepoužijete
Dôkaz:
Použijeme vetu (4.5.4): "Nech $S,T$ su podpriestory konečnorozmerného vektorového priestoru, potom $d(S)+d(T)=d(S+T)+d(S \cap T)$"
Platí $S_i + S^*_i = (S_1+...+S_n)$.
$$
\begin{align*}
d(S_1+...+S_n) &= d(S_1) + d(S_2+...+S_n) - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
&= d(S_1) + d(S_2) + d(S_3+...+S_n) - d(S_2 \cap (S_3+...+S_n)) - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
&= d(S_1) + d(S_2) + d(S_3) + d(S_4+...+S_n) - d(S_3 \cap (S_4+...+S_n)) - d(S_2 \cap (S_3+...+S_n)) - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
\vdots \\
&= d(S_1) + ... +d(S_{n-1}) + d(S_n) - d(S_{n-1} \cap S_n) - d(S_{n-2} \cap (S_{n-1}+S_n)) - ... - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
d(S_1+...+S_n) &= \sum\limits_{i=1}^n d(S_i) - d(S_{n-1} \cap S_n) - d(S_{n-2} \cap (S_{n-1}+S_n)) - ... - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n))
\end{align*}
$$
Vidíme že každý člen ktorý odčítavame má tvar $d(S_x \cap (S_{x+1}+...+S_n))$,
pretože predpokladáme $\forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\}$,
podľa Lemmy 1, $S_x \cap (S_{x+1}+...+S_n)=\{\vec 0 \}$. Pretože $d(\{\vec0\})=0$ potom skutočne platí $d(S_1+...+S_n) = \sum\limits_{i=1}^n d(S_i)$



******
Dôkaz hlavného tvrdenia:

$ (i) \Rightarrow (ii) $
Nech $\vec\gamma = \vec\beta_1+...+\vec\beta_n = \vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n$,$\space$ sú dve vyjadrenia vektora $\vec\gamma \in P$ (kde $\vec\beta_i,\vec\beta`_i \in S_i$)
$$
\vec 0 = \vec\gamma-\vec\gamma = (\vec\beta_1+...+\vec\beta_n) - (\vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n) = (\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n)
$$
Pretože $\vec\beta_j,\vec\beta`_j \in S_j$ $\space$ a $S_j$ je podpriestor (teda je uzavretý vzhľadom na sčítanie vektorov)
platí $ \vec\beta_j - \vec\beta`_j \in S_j $ teda $
\exists c_1,...,c_{k_j} \in F : \vec\beta_j-\vec\beta`_j = c_1\vec\alpha_{j_1}+...+c_{k_j}\vec\alpha_{j_{k_j}}
$ (kde $k_j$ reprezentuje počet prvkov bázy $S_j$)
Potom môžeme $\vec\gamma - \vec\gamma \in S_j$ prepísať ako:
$$
\begin{align*}
\vec\gamma - \vec\gamma &=(\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n) \\
&=( c_{1_1}\vec\alpha_{1_1}+...+c_{1_{k_1}}\vec\alpha_{1_{k_1}} )
+( c_{2_1}\vec\alpha_{2_1}+...+c_{2_{k_2}}\vec\alpha_{2_{k_2}} )
+ ... +( c_{n_1}\vec\alpha_{n_1}+...+c_{n_{k_n}}\vec\alpha_{n_{k_n}})
\end{align*}
$$
Pretože vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ sú bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$, generujú tieto podpriestory.
Viacnásobným použitím vety (4.5.3)

JG: nechceli ste napísať: Nech sú (množiny vektorov) $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$ ... ? (zatiaľ ste žiadne bázy "nedefinovali, neurčili")

$\space$ "Ak $S,T$ sú podpriestory $V$, Nech $S=[\vec\alpha_1,...,\vec\alpha_n], T=[\vec\beta_1,...,\vec\beta_n]$
$\space$ Potom $S+T = [\vec\alpha_1,...,\vec\alpha_n,\vec\beta_1,...,\vec\beta_n]$"
dokážeme že vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}, . . . ,\vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}\}$ generujú podpriestor $P=S_i+S^*_i$


Pretože vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ generujú podpriestor $S_i+S^*_i$,
a pretože podľa Lemmy 2 vieme že: $d(S_i+S^*_i) = \sum\limits_{i=1}^n d(S_i)$ teda dimenzia $d(S_i+S^*_i)$ sa rovná počtu týchto (bázových) vektorov,
vieme (podľa vety 4.4.14) že tieto vektory sú bázou podpriestora $S_i+S^*_i$, teda sú lineárne nezávislé:
$$
\begin{align*}
\vec 0 &= (\vec\beta_1+...+\vec\beta_n) - (\vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n) = (\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n)\\
\vec 0 &=( c_{1_1}\vec\alpha_{1_1}+...+c_{1_{k_1}}\vec\alpha_{1_{k_1}} )
+( c_{2_1}\vec\alpha_{2_1}+...+c_{2_{k_2}}\vec\alpha_{2_{k_2}} )
+ ... +( c_{n_1}\vec\alpha_{n_1}+...+c_{n_{k_n}}\vec\alpha_{n_{k_n}})
\space\Rightarrow\space
c_{1_1}=c_{1_2}=...=c_{1_{k_1}}=c_{2_1}=...=c_{n_{k_n}}=0
\end{align*}
$$

Potom z rovnice $\vec\beta_j - \vec\beta`_j = c_{j_1}\vec\alpha_{j_1}+...+c_{j_{k_j}}\vec\alpha_{j_{k_j}}=\vec 0$ vyplýva že pre každé $j$ platí $\vec 0 = \vec\beta_j - \vec\beta`_j$ teda $\vec\beta_j = \vec\beta`_j$ čo znamená že sú jednoznačne vyjadrené, teda každý vektor $\vec\gamma \in P$ sa dá jednoznačne vyjadriť.

* $\vec\alpha_{i_j}$ je $j$-ty vektor bázy prislúchajúcej podpriestoru $S_i$,
* koeficient $c_{i_j}$ je násobok $j$-tého vektora bázy podpriestoru $S_i$
* $k_i$ je počet prvkov bázy podpriestoru $S_i$,

JG: takže toto je dôkaz implikácie $(i)\Rightarrow (ii)$ pre špeciálny prípad konečno rozmerného priestoru


$(ii) \Rightarrow (i)$:
Dôkaz sporom:
Pomocné tvrdenie:
Ak $\vec\gamma \in S_i \cap S^*_i, \vec\gamma \ne \vec0$ potom existujú aspoň dva rozdielne vektory $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2 \in S_i$ a $\vec\beta_1,\vec\beta_2 \in S^*_i$ také že ich súčet je $\vec\gamma$
$$
\exists \vec\alpha_1,\vec\alpha_2 \in S_i, \exists \vec\beta_1,\vec\beta_2 \in S^*_i,
\space \vec\alpha_1 \ne \vec\alpha_2, \vec\beta_1 \ne \vec\beta_2:
\space\space \vec\gamma = \vec\alpha_1+\vec\beta_1 = \vec\alpha_2 + \vec\beta_2
$$

Pretože $\vec\gamma \in S_i \land \vec\gamma \in S^*_i$ a zároveň $\vec 0 \in S_i \land \vec 0 \in S^*_i \space$
potom určite existujú také $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\vec\beta_1,\vec\beta_2 $ ktoré spĺňajú $\neg (ii)$
$
\space \vec\alpha_1 = \vec\gamma, \space \vec\beta_1 = \vec 0
\space \vec\alpha_2 = \vec 0, \space \vec\beta_2 = \vec\gamma
$

Teda pre každý vektor $\vec\gamma \in S_i,\vec\gamma \ne \vec0$ ktorý patrí aj do $S^*_i$, platí že nieje určený jednoznačne,
no keďže predpokládame že on JE určená jednoznačne JG: pozor, tu sa má jednať o jednoznačnosť zápisu v nejakom špeciálnom tvare, ešte by sa tu hodilo niečo dodať, potom nesmie patriť do $S^*_i$.
Z čoho vyplýva že $S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\}$

JG: V tejto implikácii ste pojem dimenzie nevyužili, to je dobre.

******
Dodatočný dôkaz tvrdenia:

Nech $B \subseteq B'$ potom $x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \cap B'$
JG: toto asi naozaj nie je potrebné
Dôkaz:
$$
\begin{align*}
x \in A \cap B &\Leftrightarrow x \in A \land x \in B \\
&\Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \in B' &\qquad \text{použili sme predpoklad } B \subseteq B' \\
&\Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land (x \in A \land x \in B') \\
&\Rightarrow x \in A \land x \in B' \Leftrightarrow x \in A \cap B' &\qquad \text{použili sme tautólogiu } p \land q \Rightarrow q
\end{align*}
$$
******
Autor: P.Grochal

[grochal2]

Ak by to bolo mozne, rad by som tymto "postom" prepisal originalny,
keďže som pri "opravovaní" nezmazal chyby, ale ich iba presunul "dole"(na koniec postu) a označil taketo akcie "[EDIT]"

Úloha 4.5.5*

[EDIT]: 30-11-2020 Lemma3,4 + dodatočné opravy označené "[EDIT]"
JG: komentáre inline

Nech $S_1,...,S_n$ a $P$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$.
Ukážeme že nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
$\space\space$(i) $P = S_1+...+S_n$ a pre každé $i=1,...,n$ platí $S_i \cap (S_1,...,+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n ) = \{ \vec 0\}$
$\space\space$(ii) Každý vektor $\vec \gamma \in P$ sa dá práve jedným spôsobom vyjadriť v tvare $\vec \gamma = \vec \alpha_1 + ... + \vec \alpha_n$,
kde $\vec \alpha_i \in S_i$ pre $i= 1,...,n$

*Ktorúkoľvek z týchto ekvivalentných podmienok môžeme zobrať za definíciu direktného súčtu $S_1\oplus ... \oplus S_n$

******
Dôkaz:
Nech $S^*_i = (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n)$ $\space$ (toto robíme čisto z hladiska čitateľnosti dôkazu, "$S^*_i$" s indexom $i$ pretože závisí od voľby $i$)

Ekvivalenciu dokážeme ako dve implikácie ( $(i)\Leftrightarrow(ii) \space\space\Leftrightarrow\space\space (i)\Rightarrow(ii) \land (ii)\Rightarrow(i)$ )
No predtým dokážeme Lemmy 1,3,4 ktoré nám uľahčia dôkaz.

******
Lemma 1:
$$
\forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\} \Rightarrow S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n) = \{\vec 0 \}
$$
Pretože $(S_{i+1} + ... + S_n) \subseteq (S_1 + ... +S_{i-1}+S_{i+1}+ ... + S_n) $, obrátením implikácie $B \subseteq B': x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \cap B'$ platí:
$$
\vec\gamma \notin S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) \Rightarrow \vec\gamma \notin S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n)
$$
Ak $\vec\gamma$ patrí do $ S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n) $ potom musí patriť aj do $S_i \cap (S_1 + ... +S_{i-1}+S_{i+1}+ ... + S_n)$ (inak by implikácia neplatila), no podľa predpokladu, jediný vektor ktorý patrí do $S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n)$ je vektor $\vec0$,
pretože $S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n)$ je podpriestor, obsahuje $\vec0$, teda naozaj platí $S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n) = \{\vec 0 \}$

Lemma2
[EDIT] Z dôvodu prehľadnosti bola Lemma2 presunutá na koniec (archív chýb) pretože používala pojem dimenzia, a teda nebola použiteľná
[EDIT] pre dôkaz aj nekonečnorozmerných podpriestorov.

Lemma 3: JG: toto je presne implikácia $i \Rightarrow iii$ z vety 5.4.6, čiže ten dôkaz nie je nutné robiť (a naviac opäť je to niečo, čo sa dá použiť len v prípade konečných rozmerov)
Nech $\{\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}\}$ sú bázy $V_1,V_2$
Potom platí:
$$
V_1 \cap V_2 = \{\vec 0 \} \Rightarrow \{\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}} \} \text{ je báza } V_1+V_2
$$

Dôkaz:
Pretože $V_1 \cap V_2 = \{\vec 0 \}$, platí: $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \notin [\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}]$
a pretože $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}}$ tvoria bázu $V_1$ sú lineárne nezávislé,
Potom sú vektory $\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}},\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}}$ linárne nezavislé.
Taktiež (podla vety 4.5.3) vieme že $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}$ generujú podpriestor $V_1 + V_2$
Čím sme dokázali že tieto vektory sú skutočne bázou $V_1+V_2$


Lemma 4: JG: opäť niečo, čo sa dá použiť len v konečnorozmernom prípade
Nech sú (množiny vektorov) $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$
Potom platí:
$$
\begin{align*}
&\text{ Ak } \forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\} \\
&\text{ Potom sú vektory } \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}, ... ,\vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \text{ lineárne nezávislé }
\end{align*}
$$

Dôkaz:
Postupne budeme pridávať podpriestory
Začneme od "konca" $S_{n-1},S_n$:
Pretože podľa Lemmy 1 platí aj $S_{n-1} \cap S_n = \{ \vec0 \}$
podľa Lemmy 3 $(V_1=S_{n-1} ,V_2=S_n)$ vieme že vektory $\vec\alpha_{{n-1}_1},...,\vec\alpha_{{n-1}_{k_{n-1}}},\vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}$ tvoria bázu $S_{n-1}+S_n$
$\space$ (Opakovane, rekurzívne využívame to isté)
Pretože podľa Lemmy 1 platí aj $S_{n-2} \cap (S_{n-1}+S_n) = \{ \vec0 \}$
podľa Lemmy 3 $(V_1=S_{n-2} ,V_2=(S_{n-1}+S_n))$ vieme že vektory $\vec\alpha_{{n-2}_1},...,\vec\alpha_{{n-2}_{k_{n-2}}},\vec\alpha_{{n-1}_1},...,\vec\alpha_{{n-1}_{k_{n-1}}},\vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}$ tvoria bázu $S_{n-2}+S_{n-1}+S_n$
...
$\space$ Takýmto spôsobom $(V_1=S_i,V_2=(S_{i+1}+...+S_n)$ opakujeme až po $i=1$:
...
Pretože podľa Lemmy 1 platí aj $S_1 \cap (S_2+...+S_n) = \{ \vec0 \}$
podľa Lemmy 3 ($V_1=S_1 ,V_2=(S_2+...+S_n)$) vieme že vektory $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}},\vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}$ tvoria bázu $S_1+...+S_n$
Keďže tvoria bázu, tak sú lineárne nezávislé.


******
Dôkaz hlavného tvrdenia:

$ (i) \Rightarrow (ii) $
Nech $\vec\gamma = \vec\beta_1+...+\vec\beta_n = \vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n$,$\space$ sú dve vyjadrenia vektora $\vec\gamma \in P$ (kde $\vec\beta_i,\vec\beta`_i \in S_i$)
$$
\vec 0 = \vec\gamma-\vec\gamma = (\vec\beta_1+...+\vec\beta_n) - (\vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n) = (\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n)
$$
[EDIT] Nech $(\forall j): \vec\alpha_{j_1},...,\vec\alpha_{j_{k_j}}$ tvoria bázu podpriestoru $S_j$ (kde $k_j$ reprezentuje počet prvkov bázy $S_j$ JG: nechcem, aby ste predpokladali existenciu týchto báz, chcem dôkaz bez nich) potom plati:
Pretože $\vec\beta_j,\vec\beta`_j \in S_j$ $\space$ a $S_j$ je podpriestor (teda je uzavretý vzhľadom na sčítanie vektorov)
platí $ \vec\beta_j - \vec\beta`_j \in S_j $ potom $
\exists c_1,...,c_{k_j} \in F : \vec\beta_j-\vec\beta`_j = c_1\vec\alpha_{j_1}+...+c_{k_j}\vec\alpha_{j_{k_j}}
$
Potom môžeme $\vec\gamma - \vec\gamma \in S_j$ prepísať ako:
$$
\begin{align*}
\vec\gamma - \vec\gamma &=(\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n) \\
&=( c_{1_1}\vec\alpha_{1_1}+...+c_{1_{k_1}}\vec\alpha_{1_{k_1}} )
+( c_{2_1}\vec\alpha_{2_1}+...+c_{2_{k_2}}\vec\alpha_{2_{k_2}} )
+ ... +( c_{n_1}\vec\alpha_{n_1}+...+c_{n_{k_n}}\vec\alpha_{n_{k_n}})
\end{align*}
$$
Pretože vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ sú bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$
[EDIT] vystrihnutý nesprávny dôkaz (do archívu chýb dole)
Potom podľa Lemmy4 sú vektory $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}},...,\vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}$ lineárne nezávislé:
Potom môzeme dalej upraviť rovnicu:
$$
\begin{align*}
\vec 0 &= (\vec\beta_1+...+\vec\beta_n) - (\vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n) = (\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n)\\
\vec 0 &=( c_{1_1}\vec\alpha_{1_1}+...+c_{1_{k_1}}\vec\alpha_{1_{k_1}} )
+( c_{2_1}\vec\alpha_{2_1}+...+c_{2_{k_2}}\vec\alpha_{2_{k_2}} )
+ ... +( c_{n_1}\vec\alpha_{n_1}+...+c_{n_{k_n}}\vec\alpha_{n_{k_n}})
\space\Rightarrow\space
c_{1_1}=c_{1_2}=...=c_{1_{k_1}}=c_{2_1}=...=c_{n_{k_n}}=0
\end{align*}
$$

Následne z rovnice $\vec\beta_j - \vec\beta`_j = c_{j_1}\vec\alpha_{j_1}+...+c_{j_{k_j}}\vec\alpha_{j_{k_j}}=\vec 0$ vyplýva že pre každé $j$ platí $\vec 0 = \vec\beta_j - \vec\beta`_j$ teda $\vec\beta_j = \vec\beta`_j$ čo znamená že sú jednoznačne vyjadrené, teda každý vektor $\vec\gamma \in P$ sa dá jednoznačne vyjadriť.

* $\vec\alpha_{i_j}$ je $j$-ty vektor bázy prislúchajúcej podpriestoru $S_i$,
* koeficient $c_{i_j}$ je násobok $j$-tého vektora bázy podpriestoru $S_i$
* $k_i$ je počet prvkov bázy podpriestoru $S_i$,
JG: aj teraz v dôkaze využívate (konečné) bázy, čiže dôkaz je stále len pre konečnorozmerný prípad, ako aj pôvodný. Zaujímal ma dôkaz, ktorý by by vôbec nevyužíval konečnú generovanosť.

JG: takže toto je dôkaz implikácie $(i)\Rightarrow (ii)$ pre špeciálny prípad konečno rozmerného priestoru
[EDIT] Dôkaz by už mal byť správny


$(ii) \Rightarrow (i)$:
Dôkaz sporom:
Pomocné tvrdenie:
Ak $\vec\gamma \in S_i \cap S^*_i, \vec\gamma \ne \vec0$ potom existujú aspoň dva rozdielne vektory $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2 \in S_i$ a $\vec\beta_1,\vec\beta_2 \in S^*_i$ také že ich súčet je $\vec\gamma$
$$
\exists \vec\alpha_1,\vec\alpha_2 \in S_i, \exists \vec\beta_1,\vec\beta_2 \in S^*_i,
\space \vec\alpha_1 \ne \vec\alpha_2, \vec\beta_1 \ne \vec\beta_2:
\space\space \vec\gamma = \vec\alpha_1+\vec\beta_1 = \vec\alpha_2 + \vec\beta_2
$$

Pretože $\vec\gamma \in S_i \land \vec\gamma \in S^*_i$ a zároveň $\vec 0 \in S_i \land \vec 0 \in S^*_i \space$
potom určite existujú také $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\vec\beta_1,\vec\beta_2 $ ktoré spĺňajú $\neg (ii)$
$
\space \vec\alpha_1 = \vec\gamma, \space \vec\beta_1 = \vec 0
\space \vec\alpha_2 = \vec 0, \space \vec\beta_2 = \vec\gamma
$

Teda pre každý vektor $\vec\gamma \in S_i,\vec\gamma \ne \vec0$ ktorý patrí aj do $S^*_i$, platí že nieje určený jednoznačne,
no keďže predpokládame že on JE určený jednoznačne,
[EDIT] pretože my hľadáme kontrapríklad, nezaujíma nás či $\vec\beta \in S^*_i$ je jednoznačne určený alebo nieje (pretože sme našli kontrpriklad, bez pomoci takejto informácie) teda (ak aj $\vec\beta \in S^*_i$ je jednoznačne určená ) platí $\vec\gamma=\vec\alpha_1+\vec\beta_1=\vec\alpha_2+\vec\beta_2 \nRightarrow \vec\alpha_1=\vec\alpha_2 \land \vec\beta_1=\vec\beta_2$.
teda nezávisle od toho, či je $\vec\beta \in S^*_i$ je určený jednoznačne, alebo nie, je vektor $\vec\gamma$ nieje určený jednoznačne [/EDIT]
JG: pozor, tu sa má jednať o jednoznačnosť zápisu v nejakom špeciálnom tvare, ešte by sa tu hodilo niečo dodať
preto nesmie patriť do $S_i \cap S^*_i$.
Z čoho vyplýva že $S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\}$

JG: V tejto implikácii ste pojem dimenzie nevyužili, to je dobre.





[EDIT]
****************
ARCHIV chýb / zbytočných dôkazov
******
Dodatočný dôkaz tvrdenia:

Nech $B \subseteq B'$ potom $x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \cap B'$
JG: toto asi naozaj nie je potrebné
Dôkaz:
$$
\begin{align*}
x \in A \cap B &\Leftrightarrow x \in A \land x \in B \\
&\Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \in B' &\qquad \text{použili sme predpoklad } B \subseteq B' \\
&\Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land (x \in A \land x \in B') \\
&\Rightarrow x \in A \land x \in B' \Leftrightarrow x \in A \cap B' &\qquad \text{použili sme tautólogiu } p \land q \Rightarrow q
\end{align*}
$$
************
Lemma 2:
$$
\text{Ak }\forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\} \\
\text{Potom: } d(S_i+S^*_i) = \sum\limits_{i=1}^n d(S_i)
$$
JG: v zadaní sa nehovorí o konečne rozmerných priestoroch, čiže pojem dimenzie by sa v dôkaze nemal použiť (ani veta 4.5.4), bolo by dobre spraviť dôkaz, pri ktorom túto lemu nepoužijete
Dôkaz:
Použijeme vetu (4.5.4): "Nech $S,T$ su podpriestory konečnorozmerného vektorového priestoru, potom $d(S)+d(T)=d(S+T)+d(S \cap T)$"
Platí $S_i + S^*_i = (S_1+...+S_n)$.
$$
\begin{align*}
d(S_1+...+S_n) &= d(S_1) + d(S_2+...+S_n) - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
&= d(S_1) + d(S_2) + d(S_3+...+S_n) - d(S_2 \cap (S_3+...+S_n)) - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
&= d(S_1) + d(S_2) + d(S_3) + d(S_4+...+S_n) - d(S_3 \cap (S_4+...+S_n)) - d(S_2 \cap (S_3+...+S_n)) - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
\vdots \\
&= d(S_1) + ... +d(S_{n-1}) + d(S_n) - d(S_{n-1} \cap S_n) - d(S_{n-2} \cap (S_{n-1}+S_n)) - ... - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
d(S_1+...+S_n) &= \sum\limits_{i=1}^n d(S_i) - d(S_{n-1} \cap S_n) - d(S_{n-2} \cap (S_{n-1}+S_n)) - ... - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n))
\end{align*}
$$
Vidíme že každý člen ktorý odčítavame má tvar $d(S_x \cap (S_{x+1}+...+S_n))$,
pretože predpokladáme $\forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\}$,
podľa Lemmy 1, $S_x \cap (S_{x+1}+...+S_n)=\{\vec 0 \}$. Pretože $d(\{\vec0\})=0$ potom skutočne platí $d(S_1+...+S_n) = \sum\limits_{i=1}^n d(S_i)$

Pretože vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ sú bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$, generujú tieto podpriestory.
Viacnásobným použitím vety (4.5.3)

JG: nechceli ste napísať: Nech sú (množiny vektorov) $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$ ... ? (zatiaľ ste žiadne bázy "nedefinovali, neurčili")

$\space$ "Ak $S,T$ sú podpriestory $V$, Nech $S=[\vec\alpha_1,...,\vec\alpha_n], T=[\vec\beta_1,...,\vec\beta_n]$
$\space$ Potom $S+T = [\vec\alpha_1,...,\vec\alpha_n,\vec\beta_1,...,\vec\beta_n]$"
dokážeme že vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}, . . . ,\vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}\}$ generujú podpriestor $P=S_i+S^*_i$


**********
[EDIT] vyrezaná časť nekompletného (chybného) dôkazu implikacie (i)=>(ii)
Pretože vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ generujú podpriestor $S_i+S^*_i$,
a pretože podľa Lemmy 2 vieme že: $d(S_i+S^*_i) = \sum\limits_{i=1}^n d(S_i)$ teda dimenzia $d(S_i+S^*_i)$ sa rovná počtu týchto (bázových) vektorov,
vieme (podľa vety 4.4.14) že tieto vektory sú bázou podpriestora $S_i+S^*_i$, teda sú lineárne nezávislé:
$$
\begin{align*}
\vec 0 &= (\vec\beta_1+...+\vec\beta_n) - (\vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n) = (\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n)\\
\vec 0 &=( c_{1_1}\vec\alpha_{1_1}+...+c_{1_{k_1}}\vec\alpha_{1_{k_1}} )
+( c_{2_1}\vec\alpha_{2_1}+...+c_{2_{k_2}}\vec\alpha_{2_{k_2}} )
+ ... +( c_{n_1}\vec\alpha_{n_1}+...+c_{n_{k_n}}\vec\alpha_{n_{k_n}})
\space\Rightarrow\space
c_{1_1}=c_{1_2}=...=c_{1_{k_1}}=c_{2_1}=...=c_{n_{k_n}}=0
\end{align*}
$$

Potom z rovnice $\vec\beta_j - \vec\beta`_j = c_{j_1}\vec\alpha_{j_1}+...+c_{j_{k_j}}\vec\alpha_{j_{k_j}}=\vec 0$ vyplýva že pre každé $j$ platí $\vec 0 = \vec\beta_j - \vec\beta`_j$ teda $\vec\beta_j = \vec\beta`_j$ čo znamená že sú jednoznačne vyjadrené, teda každý vektor $\vec\gamma \in P$ sa dá jednoznačne vyjadriť.

* $\vec\alpha_{i_j}$ je $j$-ty vektor bázy prislúchajúcej podpriestoru $S_i$,
* koeficient $c_{i_j}$ je násobok $j$-tého vektora bázy podpriestoru $S_i$
* $k_i$ je počet prvkov bázy podpriestoru $S_i$,

JG: takže toto je dôkaz implikácie $(i)\Rightarrow (ii)$ pre špeciálny prípad konečno rozmerného priestoru
*******

*******
Autor: P.Grochal

[jaroslav.gurican]

OK, aj napriek mojim výhradám ohľadom konečnorozmernosti si tento dôkaz (obidva) zaslúži 1 bod.
Ale stále by ma zaujímal dôkaz, kde by sa bázy (konečné generovanie) pri tej "neposlušnej" implikácii vôbec nevyužili (ak ho spravíte, zistíte, že je vlastne omnoho jednoduchší ako ten, kde je báza (konečné generovanie)/dimenzia využitá.