msleziak.com

grochal2 wrote: ↑Thu Nov 26, 2020 7:07 pm Úloha 4.5.5*

[EDIT]: 30-11-2020 Lemma3,4 + dodatočné opravy označené "[EDIT]"
JG: komentáre inline

Nech $S_1,...,S_n$ a $P$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$.
Ukážeme že nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
$\space\space$(i) $P = S_1+...+S_n$ a pre každé $i=1,...,n$ platí $S_i \cap (S_1,...,+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n ) = \{ \vec 0\}$
$\space\space$(ii) Každý vektor $\vec \gamma \in P$ sa dá práve jedným spôsobom vyjadriť v tvare $\vec \gamma = \vec \alpha_1 + ... + \vec \alpha_n$,
kde $\vec \alpha_i \in S_i$ pre $i= 1,...,n$

*Ktorúkoľvek z týchto ekvivalentných podmienok môžeme zobrať za definíciu direktného súčtu $S_1\oplus ... \oplus S_n$

******
Dôkaz:
Nech $S^*_i = (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n)$ $\space$ (toto robíme čisto z hladiska čitateľnosti dôkazu, "$S^*_i$" s indexom $i$ pretože závisí od voľby $i$)

Ekvivalenciu dokážeme ako dve implikácie ( $(i)\Leftrightarrow(ii) \space\space\Leftrightarrow\space\space (i)\Rightarrow(ii) \land (ii)\Rightarrow(i)$ )
No predtým dokážeme Lemmy 1,3,4 ktoré nám uľahčia dôkaz.

******
Lemma 1:
$$
\forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\} \Rightarrow S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n) = \{\vec 0 \}
$$
Pretože $(S_{i+1} + ... + S_n) \subseteq (S_1 + ... +S_{i-1}+S_{i+1}+ ... + S_n) $, obrátením implikácie $B \subseteq B': x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \cap B'$ platí:
$$
\vec\gamma \notin S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) \Rightarrow \vec\gamma \notin S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n)
$$
Ak $\vec\gamma$ patrí do $ S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n) $ potom musí patriť aj do $S_i \cap (S_1 + ... +S_{i-1}+S_{i+1}+ ... + S_n)$ (inak by implikácia neplatila), no podľa predpokladu, jediný vektor ktorý patrí do $S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n)$ je vektor $\vec0$,
pretože $S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n)$ je podpriestor, obsahuje $\vec0$, teda naozaj platí $S_i \cap (S_{i+1} + ... + S_n) = \{\vec 0 \}$

Lemma2
[EDIT] Z dôvodu prehľadnosti bola Lemma2 presunutá na koniec (archív chýb) pretože používala pojem dimenzia, a teda nebola použiteľná
[EDIT] pre dôkaz aj nekonečnorozmerných podpriestorov.

Lemma 3: JG: toto je presne implikácia $i \Rightarrow iii$ z vety 5.4.6, čiže ten dôkaz nie je nutné robiť (a naviac opäť je to niečo, čo sa dá použiť len v prípade konečných rozmerov)
Nech $\{\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}\}$ sú bázy $V_1,V_2$
Potom platí:
$$
V_1 \cap V_2 = \{\vec 0 \} \Rightarrow \{\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}} \} \text{ je báza } V_1+V_2
$$

Dôkaz:
Pretože $V_1 \cap V_2 = \{\vec 0 \}$, platí: $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \notin [\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}]$
a pretože $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}}$ tvoria bázu $V_1$ sú lineárne nezávislé,
Potom sú vektory $\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}},\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}}$ linárne nezavislé.
Taktiež (podla vety 4.5.3) vieme že $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}$ generujú podpriestor $V_1 + V_2$
Čím sme dokázali že tieto vektory sú skutočne bázou $V_1+V_2$


Lemma 4: JG: opäť niečo, čo sa dá použiť len v konečnorozmernom prípade
Nech sú (množiny vektorov) $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$
Potom platí:
$$
\begin{align*}
&\text{ Ak } \forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\} \\
&\text{ Potom sú vektory } \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}}, ... ,\vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \text{ lineárne nezávislé }
\end{align*}
$$

Dôkaz:
Postupne budeme pridávať podpriestory
Začneme od "konca" $S_{n-1},S_n$:
Pretože podľa Lemmy 1 platí aj $S_{n-1} \cap S_n = \{ \vec0 \}$
podľa Lemmy 3 $(V_1=S_{n-1} ,V_2=S_n)$ vieme že vektory $\vec\alpha_{{n-1}_1},...,\vec\alpha_{{n-1}_{k_{n-1}}},\vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}$ tvoria bázu $S_{n-1}+S_n$
$\space$ (Opakovane, rekurzívne využívame to isté)
Pretože podľa Lemmy 1 platí aj $S_{n-2} \cap (S_{n-1}+S_n) = \{ \vec0 \}$
podľa Lemmy 3 $(V_1=S_{n-2} ,V_2=(S_{n-1}+S_n))$ vieme že vektory $\vec\alpha_{{n-2}_1},...,\vec\alpha_{{n-2}_{k_{n-2}}},\vec\alpha_{{n-1}_1},...,\vec\alpha_{{n-1}_{k_{n-1}}},\vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}$ tvoria bázu $S_{n-2}+S_{n-1}+S_n$
...
$\space$ Takýmto spôsobom $(V_1=S_i,V_2=(S_{i+1}+...+S_n)$ opakujeme až po $i=1$:
...
Pretože podľa Lemmy 1 platí aj $S_1 \cap (S_2+...+S_n) = \{ \vec0 \}$
podľa Lemmy 3 ($V_1=S_1 ,V_2=(S_2+...+S_n)$) vieme že vektory $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{2_1},...,\vec\alpha_{2_{k_2}},\vec\alpha_{n_1},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}$ tvoria bázu $S_1+...+S_n$
Keďže tvoria bázu, tak sú lineárne nezávislé.


******
Dôkaz hlavného tvrdenia:

$ (i) \Rightarrow (ii) $
Nech $\vec\gamma = \vec\beta_1+...+\vec\beta_n = \vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n$,$\space$ sú dve vyjadrenia vektora $\vec\gamma \in P$ (kde $\vec\beta_i,\vec\beta`_i \in S_i$)
$$
\vec 0 = \vec\gamma-\vec\gamma = (\vec\beta_1+...+\vec\beta_n) - (\vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n) = (\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n)
$$
[EDIT] Nech $(\forall j): \vec\alpha_{j_1},...,\vec\alpha_{j_{k_j}}$ tvoria bázu podpriestoru $S_j$ (kde $k_j$ reprezentuje počet prvkov bázy $S_j$ JG: nechcem, aby ste predpokladali existenciu týchto báz, chcem dôkaz bez nich) potom plati:
Pretože $\vec\beta_j,\vec\beta`_j \in S_j$ $\space$ a $S_j$ je podpriestor (teda je uzavretý vzhľadom na sčítanie vektorov)
platí $ \vec\beta_j - \vec\beta`_j \in S_j $ potom $
\exists c_1,...,c_{k_j} \in F : \vec\beta_j-\vec\beta`_j = c_1\vec\alpha_{j_1}+...+c_{k_j}\vec\alpha_{j_{k_j}}
$
Potom môžeme $\vec\gamma - \vec\gamma \in S_j$ prepísať ako:
$$
\begin{align*}
\vec\gamma - \vec\gamma &=(\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n) \\
&=( c_{1_1}\vec\alpha_{1_1}+...+c_{1_{k_1}}\vec\alpha_{1_{k_1}} )
+( c_{2_1}\vec\alpha_{2_1}+...+c_{2_{k_2}}\vec\alpha_{2_{k_2}} )
+ ... +( c_{n_1}\vec\alpha_{n_1}+...+c_{n_{k_n}}\vec\alpha_{n_{k_n}})
\end{align*}
$$
Pretože vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ sú bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$
[EDIT] vystrihnutý nesprávny dôkaz (do archívu chýb dole)
Potom podľa Lemmy4 sú vektory $\vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}},...,\vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}$ lineárne nezávislé:
Potom môzeme dalej upraviť rovnicu:
$$
\begin{align*}
\vec 0 &= (\vec\beta_1+...+\vec\beta_n) - (\vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n) = (\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n)\\
\vec 0 &=( c_{1_1}\vec\alpha_{1_1}+...+c_{1_{k_1}}\vec\alpha_{1_{k_1}} )
+( c_{2_1}\vec\alpha_{2_1}+...+c_{2_{k_2}}\vec\alpha_{2_{k_2}} )
+ ... +( c_{n_1}\vec\alpha_{n_1}+...+c_{n_{k_n}}\vec\alpha_{n_{k_n}})
\space\Rightarrow\space
c_{1_1}=c_{1_2}=...=c_{1_{k_1}}=c_{2_1}=...=c_{n_{k_n}}=0
\end{align*}
$$

Následne z rovnice $\vec\beta_j - \vec\beta`_j = c_{j_1}\vec\alpha_{j_1}+...+c_{j_{k_j}}\vec\alpha_{j_{k_j}}=\vec 0$ vyplýva že pre každé $j$ platí $\vec 0 = \vec\beta_j - \vec\beta`_j$ teda $\vec\beta_j = \vec\beta`_j$ čo znamená že sú jednoznačne vyjadrené, teda každý vektor $\vec\gamma \in P$ sa dá jednoznačne vyjadriť.

* $\vec\alpha_{i_j}$ je $j$-ty vektor bázy prislúchajúcej podpriestoru $S_i$,
* koeficient $c_{i_j}$ je násobok $j$-tého vektora bázy podpriestoru $S_i$
* $k_i$ je počet prvkov bázy podpriestoru $S_i$,
JG: aj teraz v dôkaze využívate (konečné) bázy, čiže dôkaz je stále len pre konečnorozmerný prípad, ako aj pôvodný. Zaujímal ma dôkaz, ktorý by by vôbec nevyužíval konečnú generovanosť.

JG: takže toto je dôkaz implikácie $(i)\Rightarrow (ii)$ pre špeciálny prípad konečno rozmerného priestoru
[EDIT] Dôkaz by už mal byť správny


$(ii) \Rightarrow (i)$:
Dôkaz sporom:
Pomocné tvrdenie:
Ak $\vec\gamma \in S_i \cap S^*_i, \vec\gamma \ne \vec0$ potom existujú aspoň dva rozdielne vektory $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2 \in S_i$ a $\vec\beta_1,\vec\beta_2 \in S^*_i$ také že ich súčet je $\vec\gamma$
$$
\exists \vec\alpha_1,\vec\alpha_2 \in S_i, \exists \vec\beta_1,\vec\beta_2 \in S^*_i,
\space \vec\alpha_1 \ne \vec\alpha_2, \vec\beta_1 \ne \vec\beta_2:
\space\space \vec\gamma = \vec\alpha_1+\vec\beta_1 = \vec\alpha_2 + \vec\beta_2
$$

Pretože $\vec\gamma \in S_i \land \vec\gamma \in S^*_i$ a zároveň $\vec 0 \in S_i \land \vec 0 \in S^*_i \space$
potom určite existujú také $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\vec\beta_1,\vec\beta_2 $ ktoré spĺňajú $\neg (ii)$
$
\space \vec\alpha_1 = \vec\gamma, \space \vec\beta_1 = \vec 0
\space \vec\alpha_2 = \vec 0, \space \vec\beta_2 = \vec\gamma
$

Teda pre každý vektor $\vec\gamma \in S_i,\vec\gamma \ne \vec0$ ktorý patrí aj do $S^*_i$, platí že nieje určený jednoznačne,
no keďže predpokládame že on JE určený jednoznačne,
[EDIT] pretože my hľadáme kontrapríklad, nezaujíma nás či $\vec\beta \in S^*_i$ je jednoznačne určený alebo nieje (pretože sme našli kontrpriklad, bez pomoci takejto informácie) teda (ak aj $\vec\beta \in S^*_i$ je jednoznačne určená ) platí $\vec\gamma=\vec\alpha_1+\vec\beta_1=\vec\alpha_2+\vec\beta_2 \nRightarrow \vec\alpha_1=\vec\alpha_2 \land \vec\beta_1=\vec\beta_2$.
teda nezávisle od toho, či je $\vec\beta \in S^*_i$ je určený jednoznačne, alebo nie, je vektor $\vec\gamma$ nieje určený jednoznačne [/EDIT]
JG: pozor, tu sa má jednať o jednoznačnosť zápisu v nejakom špeciálnom tvare, ešte by sa tu hodilo niečo dodať
preto nesmie patriť do $S_i \cap S^*_i$.
Z čoho vyplýva že $S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\}$

JG: V tejto implikácii ste pojem dimenzie nevyužili, to je dobre.





[EDIT]
****************
ARCHIV chýb / zbytočných dôkazov
******
Dodatočný dôkaz tvrdenia:

Nech $B \subseteq B'$ potom $x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \cap B'$
JG: toto asi naozaj nie je potrebné
Dôkaz:
$$
\begin{align*}
x \in A \cap B &\Leftrightarrow x \in A \land x \in B \\
&\Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \in B' &\qquad \text{použili sme predpoklad } B \subseteq B' \\
&\Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land (x \in A \land x \in B') \\
&\Rightarrow x \in A \land x \in B' \Leftrightarrow x \in A \cap B' &\qquad \text{použili sme tautólogiu } p \land q \Rightarrow q
\end{align*}
$$
************
Lemma 2:
$$
\text{Ak }\forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\} \\
\text{Potom: } d(S_i+S^*_i) = \sum\limits_{i=1}^n d(S_i)
$$
JG: v zadaní sa nehovorí o konečne rozmerných priestoroch, čiže pojem dimenzie by sa v dôkaze nemal použiť (ani veta 4.5.4), bolo by dobre spraviť dôkaz, pri ktorom túto lemu nepoužijete
Dôkaz:
Použijeme vetu (4.5.4): "Nech $S,T$ su podpriestory konečnorozmerného vektorového priestoru, potom $d(S)+d(T)=d(S+T)+d(S \cap T)$"
Platí $S_i + S^*_i = (S_1+...+S_n)$.
$$
\begin{align*}
d(S_1+...+S_n) &= d(S_1) + d(S_2+...+S_n) - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
&= d(S_1) + d(S_2) + d(S_3+...+S_n) - d(S_2 \cap (S_3+...+S_n)) - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
&= d(S_1) + d(S_2) + d(S_3) + d(S_4+...+S_n) - d(S_3 \cap (S_4+...+S_n)) - d(S_2 \cap (S_3+...+S_n)) - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
\vdots \\
&= d(S_1) + ... +d(S_{n-1}) + d(S_n) - d(S_{n-1} \cap S_n) - d(S_{n-2} \cap (S_{n-1}+S_n)) - ... - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n)) \\
d(S_1+...+S_n) &= \sum\limits_{i=1}^n d(S_i) - d(S_{n-1} \cap S_n) - d(S_{n-2} \cap (S_{n-1}+S_n)) - ... - d(S_1 \cap (S_2+...+S_n))
\end{align*}
$$
Vidíme že každý člen ktorý odčítavame má tvar $d(S_x \cap (S_{x+1}+...+S_n))$,
pretože predpokladáme $\forall i \in \{1,...,n\}: S_i \cap (S_1+...+S_{i-1}+S_{i+1}+...+S_n) = \{\vec 0\}$,
podľa Lemmy 1, $S_x \cap (S_{x+1}+...+S_n)=\{\vec 0 \}$. Pretože $d(\{\vec0\})=0$ potom skutočne platí $d(S_1+...+S_n) = \sum\limits_{i=1}^n d(S_i)$

Pretože vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ sú bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$, generujú tieto podpriestory.
Viacnásobným použitím vety (4.5.3)

JG: nechceli ste napísať: Nech sú (množiny vektorov) $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ bázami podpriestorov $S_1,...,S_n$ ... ? (zatiaľ ste žiadne bázy "nedefinovali, neurčili")

$\space$ "Ak $S,T$ sú podpriestory $V$, Nech $S=[\vec\alpha_1,...,\vec\alpha_n], T=[\vec\beta_1,...,\vec\beta_n]$
$\space$ Potom $S+T = [\vec\alpha_1,...,\vec\alpha_n,\vec\beta_1,...,\vec\beta_n]$"
dokážeme že vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}},\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}, . . . ,\vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}}\}$ generujú podpriestor $P=S_i+S^*_i$


**********
[EDIT] vyrezaná časť nekompletného (chybného) dôkazu implikacie (i)=>(ii)
Pretože vektory $\{ \vec\alpha_{1_1},...,\vec\alpha_{1_{k_1}} \}, \{\vec\alpha_{1_2},...,\vec\alpha_{1_{k_2}}\},...,\{ \vec\alpha_{1_n},...,\vec\alpha_{n_{k_n}} \}$ generujú podpriestor $S_i+S^*_i$,
a pretože podľa Lemmy 2 vieme že: $d(S_i+S^*_i) = \sum\limits_{i=1}^n d(S_i)$ teda dimenzia $d(S_i+S^*_i)$ sa rovná počtu týchto (bázových) vektorov,
vieme (podľa vety 4.4.14) že tieto vektory sú bázou podpriestora $S_i+S^*_i$, teda sú lineárne nezávislé:
$$
\begin{align*}
\vec 0 &= (\vec\beta_1+...+\vec\beta_n) - (\vec\beta`_1+...+\vec\beta`_n) = (\vec\beta_1-\vec\beta`_1)+...+(\vec\beta_n-\vec\beta`_n)\\
\vec 0 &=( c_{1_1}\vec\alpha_{1_1}+...+c_{1_{k_1}}\vec\alpha_{1_{k_1}} )
+( c_{2_1}\vec\alpha_{2_1}+...+c_{2_{k_2}}\vec\alpha_{2_{k_2}} )
+ ... +( c_{n_1}\vec\alpha_{n_1}+...+c_{n_{k_n}}\vec\alpha_{n_{k_n}})
\space\Rightarrow\space
c_{1_1}=c_{1_2}=...=c_{1_{k_1}}=c_{2_1}=...=c_{n_{k_n}}=0
\end{align*}
$$

Potom z rovnice $\vec\beta_j - \vec\beta`_j = c_{j_1}\vec\alpha_{j_1}+...+c_{j_{k_j}}\vec\alpha_{j_{k_j}}=\vec 0$ vyplýva že pre každé $j$ platí $\vec 0 = \vec\beta_j - \vec\beta`_j$ teda $\vec\beta_j = \vec\beta`_j$ čo znamená že sú jednoznačne vyjadrené, teda každý vektor $\vec\gamma \in P$ sa dá jednoznačne vyjadriť.

* $\vec\alpha_{i_j}$ je $j$-ty vektor bázy prislúchajúcej podpriestoru $S_i$,
* koeficient $c_{i_j}$ je násobok $j$-tého vektora bázy podpriestoru $S_i$
* $k_i$ je počet prvkov bázy podpriestoru $S_i$,

JG: takže toto je dôkaz implikácie $(i)\Rightarrow (ii)$ pre špeciálny prípad konečno rozmerného priestoru
*******

*******
Autor: P.Grochal