Zadanie
Pre dané polynómy $f(x),g(x),h(x)\in\mathbb R[x]$ zistite, či sú lineárne nezávislé. (Pozeráme sa na ne ako na prvky vektorového priestoru $\mathbb R[x]$ všetkých reálnych polynómov resp. ako na prvky vektorového priestoru $\mathbb R^{\mathbb R}$ všetkých reálnych funkcií.)
\begin{align*}
f(x)&=x^4+2x^3+5x^2+x+3\\
g(x)&=3x^4+x^3+5x^2-2x+4\\
h(x)&=x^4-x^3-x^2-2x
\end{align*}
Ako úlohu riešiť:
Podstatná vec je uvedomiť si, že je to to isté ako počítať rovnakú úlohu s vektormi z~$\mathbb R^5$, ktoré dostaneme tak, že si prečítame koeficienty polynómov, t.j.
$\vec x=(1,2,5,1,3)$
$\vec y=(3,1,5,-2,4)$
$\vec z=(1,-1,-1,-2,0)$
(Ja som tu koeficienty dal v poradí od najvyššej mocniny po najnižšiu. Funguje aj akékoľvek iné poradie.)
Zdôvodniť prečo sa to dá robiť takto, sa dá rôznymi spôsobmi. Skúsim aspoň k niektorým niečo napísať.
Počítanie po súradniciach
Chceme zistiť, či existujú konštanty $c_1$, $c_2$, $c_3$, ktoré nie sú všetky nulové a spĺňajú $c_1f(x)+c_2g(x)+c_3h(x)=0$.
Ak upravíme polynóm na ľavej strane rovnosti, tak dostaneme
\begin{align*}
c_1f(x)+c_2g(x)+c_3h(x)
&=c_1(x^4+2x^3+5x^2+x+3)+c_2(3x^4+x^3+5x^2-2x+4)+c_3(x^4-x^3-x^2-2x)\\
&=(c_1+3c_2+c_3)x^4+(2c_1+c_2-1c_3)x^3+(5c_1+5c_2-1c_3)x^2+(c_1-2c_2-2c_3)x+(3c_1+4c_2)=0
\end{align*}
Vieme, že polynóm sa rovná nulovej funkcii p.v.k. všetky koeficienty sú nulové: viewtopic.php?t=1349
Teda vlastne dostávame sústavu rovníc
\begin{align*}
c_1+3c_2+c_3&=0\\
2c_1+c_2-1c_3&=0\\
5c_1+5c_2-1c_3&=0\\
c_1-2c_2-2c_3&=0\\
3c_1+4c_2&=0\\
\end{align*}
To je ale presne tá istá sústava rovníc, ktorú dostaneme z podmienky $c_1\vec x+c_2\vec y+c_3\vec z=\vec 0$.
Teda vidíme, že overovať lineárnu nezávislosť pre dané polynómy je to isté, ako ju overiť pre vektory, ktoré im zodpovedajú
Izomorfizmus medzi $P_n$ a $\mathbb R^{n+1}$
Označme si ako $P_n$ množinu všetkých polynómov nad $\mathbb R$ stupňa nanajvýš $n$. Táto množina s obvyklým sčitovaním a s násobením skalárom tvorí vektorový priestor nad $\mathbb R$.
V zadaní máme prvky priestoru $P_4$. Keď polynómy sčitujeme a násobíme skalárom, tak je to to isté, ako počítanie po súradniciach. Takže vidíme, že je to "v podstate" taký istý vektorový priestor ako $\mathbb R^5$.
Keďže sme sa medzičasom naučili, čo je izomorfizmus vektorových priestorov (a podobný pojem sme videli pre grupách), tak túto vec vieme vyjadriť aj formálnejšie.
Zobrazenie $\varphi\to P_4\to \mathbb R^5$ určené predpisom
$$\varphi \colon a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \mapsto (a_4,a_3,a_2,a_1,a_0) $$
je izomorfizmus vektorových priestorov.
Špeciálne ak máme nejaké prvky $f, g, h\in P_4$, tak tie sú lineárne nezávislé práve vtedy keď ich obrazy $\varphi(f), \varphi(g), \varphi(h)\in\mathbb R^5$ sú lineárne nezávislé.
Teda namiesto overovania lineárnej nezávislosti pre zadané polynómy môžeme overovať lineárnu nezávislosť pre im zodpovedajúce usporiadané 5-tice.
Takéto niečo môžeme často urobiť aj všeobecnejšie: Ak máme nejaký vektorový priestor $V$ a izomorfizmus $\varphi \colon V\to F^n$, tak pomocou tohoto izomorfizmu môžeme nejakú otázku o priestore $V$ previesť na zodpovedajúcu otázku o $F^n$. To môže byť užitočné hlavne preto, že s usporiadanými $n$-ticami sa nám dobre počíta.
Lineárna závislosť polynómov
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Lineárna závislosť polynómov
Výpočet:
Zadanie a aj výpočty tu uvediem len pre jednu skupinu. (Ak by sa niekomu z inej skupiny zdalo, že k riešeniu svojej skupiny potrebuje viac než som napísal sem a do mailu s odpoveďou na d.ú., tak sa dá spýtať mailom, na fóre, alebo na konzultáciách.)
V ostatných skupinách boli zadané iné polynómy, ale všetky štyri skupiny mali zadanie, kde tieto polynómy sú lineárne závislé.
Ak sme si už rozmysleli, že vlastne ide iba o problém zistiť, či sú nejaké vektory v $\mathbb R^5$ lineárne závislé, tak na to sme sa už naučili dva štandardné postupy - úprava na redukovaný stupňovitý tvar alebo riešenie sústavy, ktorú dostatneme z definície lineárnej závislosti.
Pripomeniem, že pri jednom aj pri druhom postupe vieme urobiť aj nejaký druh skúšky správnosti.
Výpočet pomocou sústavy.
Vektory $\vec x$, $\vec y$, $\vec z$ poukladáme ako riadky do matice a upravujeme na redukovaný tvar.
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 & 1 & 3 \\
3 & 1 & 5 &-2 & 4 \\
1 &-1 &-1 &-2 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$
Z toho, že vyšiel nulový riadok, vieme usúdiť že vektory sú lineárne závislé.
Výpočet pomocou sústavy.
Chceme zistiť, či sústava lineárnych rovníc $c_1\vec x+c_2\vec y+c_3\vec z=\vec 0$ má nenulové riešenie.
V tomto prípade sú zadané vektory v stĺpcoch:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 1 &-1 & 0 \\
5 & 5 &-1 & 0 \\
1 &-2 &-2 & 0 \\
3 & 4 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 &-\frac45 & 0 \\
0 & 1 & \frac35 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
Vidíme, že napríklad $c_1=4$, $c_2=-3$, $c_3=5$. (A všetky ostatné riešenia vieme dostať ako násobky $(4,-3,5)$.)
Existujú nenulové koeficienty $c_1$, $c_2$, $c_3$ také, že $c_1\vec x+c_2\vec y+c_3\vec z=\vec 0$. To znamená, že zadané vektory sú lineárne závislé.
Zadanie a aj výpočty tu uvediem len pre jednu skupinu. (Ak by sa niekomu z inej skupiny zdalo, že k riešeniu svojej skupiny potrebuje viac než som napísal sem a do mailu s odpoveďou na d.ú., tak sa dá spýtať mailom, na fóre, alebo na konzultáciách.)
V ostatných skupinách boli zadané iné polynómy, ale všetky štyri skupiny mali zadanie, kde tieto polynómy sú lineárne závislé.
Ak sme si už rozmysleli, že vlastne ide iba o problém zistiť, či sú nejaké vektory v $\mathbb R^5$ lineárne závislé, tak na to sme sa už naučili dva štandardné postupy - úprava na redukovaný stupňovitý tvar alebo riešenie sústavy, ktorú dostatneme z definície lineárnej závislosti.
Pripomeniem, že pri jednom aj pri druhom postupe vieme urobiť aj nejaký druh skúšky správnosti.
Výpočet pomocou sústavy.
Vektory $\vec x$, $\vec y$, $\vec z$ poukladáme ako riadky do matice a upravujeme na redukovaný tvar.
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 & 1 & 3 \\
3 & 1 & 5 &-2 & 4 \\
1 &-1 &-1 &-2 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$
Z toho, že vyšiel nulový riadok, vieme usúdiť že vektory sú lineárne závislé.
Spoiler:
Chceme zistiť, či sústava lineárnych rovníc $c_1\vec x+c_2\vec y+c_3\vec z=\vec 0$ má nenulové riešenie.
V tomto prípade sú zadané vektory v stĺpcoch:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 1 &-1 & 0 \\
5 & 5 &-1 & 0 \\
1 &-2 &-2 & 0 \\
3 & 4 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 &-\frac45 & 0 \\
0 & 1 & \frac35 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
Vidíme, že napríklad $c_1=4$, $c_2=-3$, $c_3=5$. (A všetky ostatné riešenia vieme dostať ako násobky $(4,-3,5)$.)
Existujú nenulové koeficienty $c_1$, $c_2$, $c_3$ také, že $c_1\vec x+c_2\vec y+c_3\vec z=\vec 0$. To znamená, že zadané vektory sú lineárne závislé.
Spoiler: