Alebo tá istá úloha zamaskovaná trochu inak - ako maticová rovnica. (Prečo sú tieto dve úlohy to isté zapísané inak nechávam na rozmyslenie pre vás.)Nájdite lineárne zobrazenie $f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^4$ také, že
\begin{align*}
f(1,1,1)&=(2,1,2,0)\\
f(0,1,2)&=(2,3,4,1)\\
f(3,1,4)&=(1,3,2,0)
\end{align*}
EDIT: Pôvodne som tu omylom napísal do zadania $AB=C$. Aby si tieto úlohy navzájom zodpovedali, tak poradie matíc musí byť opačné. (Teraz je už zadanie "správne" - t.j. obe formulácie úlohy sú ekvivalentné.)
Naučili sme sa štandardný postup na riešenie tohoto typu úloh - a aj sme si vysvetlili prečo funguje.Nájdite maticu $A$ nad poľom $\mathbb R$ takú, aby platilo $BA=C$ pre
$$B=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
3 & 1 & 4 \\
\end{pmatrix}
\qquad\text{a}\qquad
C=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 3 & 4 & 1 \\
1 & 3 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
Tu chcem povedať trochu iný pohľad - dospejeme k tomu istému postupu, ale je to iná možnosť ako vidieť, prečo tento postup funguje.
Niečo podobné som písal aj v tomto staršom topicu: viewtopic.php?t=812
Všímajme si zatiaľ iba jeden vektor, konkrétne $f(1,1,1)=(2,1,2,0)$. Chceme teda, aby platilo
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 & 0
\end{pmatrix}
$$
Dostaneme tak nejaké podmienky, ktoré musia spĺňať prvky matice $A$. Konkrétne
\begin{align*}
a_{11} + 2a_{21} + a_{31} &= 2\\
a_{12} + 2a_{22} + a_{32} &= 1\\
a_{13} + 2a_{23} + a_{33} &= 2\\
a_{14} + 2a_{24} + a_{34} &= 0
\end{align*}
Podobne to vieme urobiť s ďalšími dvoma vektormi. Dostaneme tak 12 sústav, kde máme 12 neznámych.
To vyzerá pomerne odstrašujúco, ale možno zbadáme niečo, čo nám zjednoduší život.
Všimnime si, že v prvej rovnici vystupujú iba prvky z prvého stĺpca matice $A$. (A podobne je to pre ďalšie rovnice - vždy sú v rovnici iba prvky z jedného stĺpca.)
To isté sa mi stane, ak dosadzujem ďalšie zadané vektory.
Zabudnime teraz na ostatné prvky matice a poďme sa pozrieť iba na prvý stĺpec.
Zo zadaných podmienok dostanem sústavu troch rovníc, ktorej riešením viem nájsť prvky prvého stĺpca zadanej matice.
\begin{align*}
a_{11} + 2a_{21} + a_{31} &= 2\\
a_{21} + 2a_{31} &= 2\\
3_{11} + a_{21} + 4a_{31} &= 1
\end{align*}
Teda by som mal riešiť sústavu:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 4 & 1
\end{array}\right)
$$
Keď ju vyriešim, tak dostanem prvý stĺpec hľadanej matice.
Potom by som mal vyriešiť ďalšiu sústavu, ktorou nájdem druhý stĺpec matice $A$:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 4 & 3
\end{array}\right)
$$
A to isté pre tretí a štvrtý stĺpec.
Ak si však všimneme, že vo všetkých prípadoch je matica sústavy rovnaká a líši sa iba pravá strana, tak môžeme tieto sústavy riešiť naraz - napíšeme si vpravo všetky pravé strany a budeme ich upravovať súčasne. (Keby sme riešili každú sústavu zvlášť, tak by sme niekoľkokrát zopakovali presne tie isté úpravy.)
Takže vlastne budeme robiť úpravy na matici
$$\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 1 \\
3 & 1 & 4 & 1 & 3 & 2 & 0
\end{array}\right)$$
pričom sa na to pozeráme tak, že každý stĺpec v pravej časti zodpovedá jednej zo sústav, ktoré riešime.
Záver: Vlastne celé čo som chcel týmto povedať je to, že na náš štandardný postup sa dá pozerať ako na súčasné riešenie štyroch sústav rovníc. Pričom tieto riešenia nám dajú stĺpce hľadanej matice. (Ukázal som to na konkrétnom príklade, ale dá sa asi vidieť, že podobné úvahy fungujú všeobecne - aj pre iné čísla a iné rozmery.)
Možno aj takýto alternatívny pohľad pomôže trochu lepšie porozumieť, prečo funguje postup, ktorý sme si pri tomto type príkladov. (Aj keď mne osobne sa zdá pohľad cez lineárne zobrazenia o čosi jasnejší a elegantnejší.)