Aplikácie determinantov

[Martin Sleziak]

Spomínali sme, že determinanty sú užitočné na veľa rôznych vecí a ešte sa s nimi stretnete aj na iných predmetoch. Je sem len doplním linky na Wikipédiu, ak ste náhodou niekto zvedavý už teraz.

Konkrétne na analýze budete hľadať minimá a maximá funkcií viac premenných. (To ste robili tento semester pre jednu premennú.) Pri jednej premennej záležalo na znamienku derivácie, pri viac premenných bude závisieť na znamienkach nejakých determinantov, ktoré dostanete derivovaním - čo súvisí s kladnou a zápornou definitnosťou matice.

Tiež budete na analýze rátať integrály pomocou substitúcie - teraz v prvom ročníku to uvidíte pre jednu premennú. Keď budete podobnú vec chcieť robiť pre viac premenných, tak sa tam vyskytne determinant matice, ktorá obsahuje parciálne derivácie - Jacobián.

Jedna z vecí z lineárnej algebry, ktoré majú veľmi veľa aplikácií, sú vlastné hodnoty (a vlastné vektory). Vlastné hodnoty sú korene charakteristického polynómu - ten sa dá vyjadriť ako determinant.

Tu sú linky na Wikipédiu s článkami týkajúcich sa týchto tém

* Hessian matrix a Second partial derivative test
* Jacobian matrix and determinant a Integration by substitution § Substitution for multiple variables
* Eigenvalues and eigenvectors a Characteristic polynomial

[Martin Sleziak]

Niečo viac o hľadaní extrémov (minima/maxima) pre funkcie viac premenných je napísané tu: viewtopic.php?t=1428
Je to písané na predmete, kde už je prebratá téma kvadratické formy - ale možno aj pre človeka, ktorý o kvadratických formách zatiaľ nevie to dá aspoň nejaký prehľad. (A ako som spomínal, poriadnejšie o tom budete počuť na niektorej matematickej analýze.)