Exercise 11.5

[Martin Sleziak]

Exercise 11.5: Let $G = D_6$ and let $\mathbb{C}G = U_1 \oplus U_2 \oplus U_3 \oplus U_4$, a direct sum of irreducible $\mathbb{C}G$-modules, as in Example 10.8(2). Find a basis for $\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G} (\mathbb{C}G, U_3)$ and a basis for $\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G} (U_3, \mathbb{C}G)$.

Máme $G=D_6=\langle a,b; a^3=b^2=1, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$ a vektory $v_0=1+a+a^2$, $v_1=1+\omega^2a+\omega a^2$, $v_2=1+\omega a+\omega^2a^2$, $w_i=bv_i$.
Už sme videli, že $U_1=\operatorname{sp}(v_0+w_0)$, $U_2=\operatorname{sp}(v_0-w_0)$, $U_3=\operatorname{sp}(v_1,w_2)$, $U_4=\operatorname{sp}(v_2,w_1)$ sú ireducibilné moduly také, že $\mathbb{C}G=U_1\oplus U_2\oplus U_3 \oplus U_4$.
Súčasne $U_3 \cong U_4$, izomorfizmus $\varphi \colon U_3 \to U_4$ dostaneme tak, že $v_1\mapsto w_1$ a $w_2\mapsto v_2$. (Pretože sú to ireducibilné $\mathbb{C}G$-moduly, existuje jediný izomorfizmus.)

Každý homomorfizmus $\vartheta \colon \mathbb{C}G \to U_3$ sa musí dať zapísať ako $(u_1+u_2+u_3+u_4)\vartheta=u_1\vartheta_1+u_2\vartheta_2+u_3\vartheta_3+u_4\vartheta_4$, kde $\vartheta_i \colon U_i\to U_3$ je homomorfizmus.
Pre $\vartheta_{1,2}$ je jedinou možnosťou nulový homomorfizmus.
Pre $\vartheta_3$ máme dve možnosti: nulový homomorfizmus a $id_{U_3}$.
Pre $\vartheta_4$ máme opäť dve možnosti: nulový homomorfizmus a $\varphi^{-1}$.

Teda báza priestoru $\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G}(\mathbb{C}G,U_3)$ je tvorená homomorfizmami
$u_1+u_2+u_3+u_4\mapsto u_3$;
$u_1+u_2+u_3+u_4\mapsto u_3\varphi^{-1}$.

Podobne každý homomorfizmus $\vartheta \colon U_3 \to \mathbb{C}G$ sa dá zapísať ako $u\vartheta=u\vartheta_1+u\vartheta_2+u\vartheta_3+u\vartheta_4$, kde $\vartheta_i$ je homomorfizmus z $U_3$ do $U_i$.
Opäť $\vartheta_{1,2}$ musí byť nulový homomorfizmus.
Za $\vartheta_3$ môžeme zvoliť nulový homomorfizmus alebo identitu.
Za $\vartheta_4$ môžeme zvoliť nulový homomorfizmus alebo $\varphi$.
Teda báza priestoru $\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G}(U_3,\mathbb{C}G)$ je tvorená homomorfizmami
$u\mapsto u$;
$u\mapsto u\varphi$.

[Martin Sleziak]

Bázu priestoru $\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G}(\mathbb{C}G,U_3)$ by sme mohli nájsť aj spôsobom z dôkazu Proposition 11.8.
Tam je ukázané, že ak si vezmeme ľubovoľnú bázu $b_1$, $b_2$ $\mathbb{C}G$-modulu $U_3$, tak báza priestoru $\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G}(\mathbb{C}G,U_3)$ je tvorená homomorfizmami $\phi_i \colon \mathbb{C}G \to U_3$
$\phi_i \colon r \mapsto b_ir$.
V tomto prípade máme bázu $b_1=v_1$, $b_2=w_2$.

Pre $b_1=v_1$ dostaneme homomorfizmus $\phi_1$ pre ktorý
$v_0\phi_1=v_1v_0=(1+\omega^2a+\omega a^2)(1+a+a^2)=(1+\omega^2+\omega)(1+a+a^2)=0$;
$w_0\phi_1=v_1w_0=v_1bv_0=v_1v_0b=0b=0$. (Využili sme, že $v_0=1+a+a^2$ je v $Z(\mathbb{C}G)$, pozri Example 9.13).
Teda aj $u_1\phi_1=u_2\phi_1=0$ pre ľubovoľné $u_1\in U_1$, $u_2\in U_2$.
Ďalej máme
$v_1\phi_1=v_1v_1=(1+\omega^2a+\omega a^2)(1+\omega^2a+\omega a^2)=3+3\omega^2a+3\omega a^2=3v_1$;
$v_2\phi_1=v_1v_2=(1+\omega^2a+\omega a^2)(1+\omega a+\omega^2a^2)=0$;
$w_1\phi_1=v_1w_1=v_1bv_1=(1+\omega^2a+\omega a^2)b(1+\omega^2a+\omega a^2)=(1+\omega^2a+\omega a^2)(1+\omega a+\omega^2a^2)b=v_1v_2b=0$;
$w_2\phi_1=v_1bv_2=v_1v_1b=3v_1b=3bv_2=3w_2$.
Vidíme teda, že $\phi_1 \colon u_1+u_2+u_3+u_4\mapsto 3u_3$.

Pre $b_2=w_2=bv_2=v_1b$ dostaneme
$v_0\phi_2=w_2v_0=v_1bv_0=v_1v_0b=0b=0$;
$w_0\phi_2=w_2w_0=v_1bbv_0=v_1v_0=0$;
$v_1\phi_2=w_2v_1=bv_2v_1=b0=0$;
$w_1\phi_2=w_2w_1=v_1bbv_1=v_1v_1=3v_1$;
$v_2\phi_2=w_2v_2=v_1bv_2=v_1v_1b=3v_1b=3w_2$;
$w_2\phi_2=w_2w_2=v_1bbv_2=v_1v_2=0$.
Tentokrát máme $\phi_2 \colon u_1+u_2+u_3+u_4\mapsto 3u_3\varphi^{-1}$.

Až na násobok sme takýmto postupom dostali rovnakú bázu ako minule.