msleziak.com

Úloha 2.6 Nech $V$ je priestor so skalárnym súčinom a $S$ je jeho podpriestor. Dokážte, že $S^\bot=S^{\bot\bot\bot}$.

Vieme, že v ľubovoľnom (aj nekonečnorozmernom) priestore platí $S \subseteq S^{\bot\bot}$ (toto bola časť dôkazu $S = S^{\bot\bot}$, ktorá nevyžadovala konečnorozmernosť). Ak dosadíme $S^{\bot}$ za $S$, dostávame $S^{\bot} \subseteq (S^{\bot})^{\bot\bot} = S^{\bot\bot\bot}$.

Zároveň platí, že ak máme ľubovoľný priestor $V$, a podpriestory $M$ a $N$ také, že $M \subseteq N \subseteq V$, tak $N^{\bot} \subseteq M^{\bot}$. Ak dosadíme $M = S$ a $N = S^{\bot\bot}$, dostávame $(S^{\bot\bot})^\bot \subseteq S^{\bot}$, a teda $S^{\bot\bot\bot} \subseteq S^{\bot}$.

Keďže platí $S^{\bot} \subseteq S^{\bot\bot\bot}$, a zároveň aj $S^{\bot\bot\bot} \subseteq S^{\bot}$, platí aj $S^{\bot} = S^{\bot\bot\bot}$, čo sme mali dokázať.

Riešenie je v poriadku, značím si 1 bod.

Ak by náhodou niekto potreboval detailnejšie vysvetlenie v tejto časti, tak sa pokojne spýtajte tu na fóre. (A snáď sa nájde niekto, kto na to skúsi odpovedať.)
Je to ale vec, ktorú by nemalo byť príliš ťažké vidieť priamo z definície.

mculen wrote: ↑Sat May 15, 2021 1:43 am Vieme, že v ľubovoľnom (aj nekonečnorozmernom) priestore platí $S \subseteq S^{\bot\bot}$ (toto bola časť dôkazu $S = S^{\bot\bot}$, ktorá nevyžadovala konečnorozmernosť).