msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

1. prednáška (20.9.)
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok, jednoznačnosť), komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok (jednoznačnosť pre asociatívne operácie).

Nerobili sme zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní ani pre viac ako 3 prvky. Ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať. Dúfam, že sa k tomu dostaneme aj na cvičení.

2. prednáška (27.9.)
Grupy. Definícia grupy a viaceré príklady. (Nemali sme zatiaľ nijaký príklad nekomutatívnej grupy - budete také príklady vidieť na cvičeniach.)
Dokázali sme zákony o krátení a tiež $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$. (Dôkaz, že $(a^{-1})^{-1}=a$ som preskočil.)

Polia. Definícia poľa. Príklady polí a niektoré jednoduché vlastnosti. (Z tvrdenia 3.3.4, kde sú vymenované základné vlastnosti poľa, som urobil len časti (i), (vi) a (iv), ostatné zostali na rozmyslenie. Takisto som nechal na rozmyslenie to, že obe definície poľa, ktoré sme uviedli, sú ekvivalentné - ak už máme dokázané tvrdenie 3.3.4, tak by to malo byť vcelku ľahké.)
Ak $n$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole. Z tejto vety som ešte nestihol dokázať existenciu inverzného prvku. Ale už som ukázal, že ak $n$ je prvočíslo, tak sa dá krátiť nenulovým prvkom. (T.j. pre $a\ne0$ platí $a\cdot b=a\cdot c$ $\Rightarrow$ $b=c$.)

3. prednáška (4.10.)
Polia. Dokončili sme dôkaz, že $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole pre každé prvočíslo $n$. A chvíľu sme sa rozprávali o počítaní v takomto poli, najmä o hľadaní inverzného prvku.
Spomenul som aj to, že tento dôkaz nám nedáva veľmi efektívny spôsob ako hľadať inverzný prvok v takomto poli. V letnom semestri sa dozviete niečo o rozšírenom Euklidovom algoritme, ktorý sa dá použiť na rýchlejší výpočet. Nejaké odkazy sú aj tu: viewtopic.php?t=298 Ukážka konkrétneho výpočtu: viewtopic.php?t=1346
Nehovoril som o $n\times a$ a $a^n$ (definícia 3.3.12 a príklad 3.3.13).
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor. Ukázali sme si konkrétne príklady: vektory v rovine, $\mathbb R^n$. (To isté sa dá urobiť pre $F^n$, kde $F$ je pole. Resp. všeobecnejšie - pre ľubovoľnú neprázdnu množinu $M$ a ľubovoľné pole $F$ dostaneme vektorový priestor $F^M$.)
Vektorový priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$ (príklad 4.1.4 v poznámkach).
Ako poznámky bokom som spomenul, že toto je príklad nekonečnorozmerného priestoru (tento pojem zadefinujeme neskôr). A tiež to, že sa dá na to pozerať ako na "usporiadanú $n$-ticu s nekonečne veľa súradnicami". (V tomto prípade máme toľko súradníc, koľko je reálnych čísel.)
Urobili sme aj dôkaz vety 4.1.6, ktorá sumarizuje jednoduché vlastnosti vektorových priestorov (násobenie nulovým vektorom/skalárom, násobenie opačným prvkom.)

4. prednáška (11.10.)
Vektorové priestory. $\mathbb R^{\mathbb R}$ ako príklad vektorového priestoru. (Podobné zdôvodnenie prejde pre $F^M$, kde $M\ne\emptyset$ je ľubovoľná množina a $F$ je ľubovoľné pole.)
Podpriestory. Definícia a niekoľko príkladov. Kritérium vektorového podpriestoru.
Prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor. Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor. (Trochu sme sa rozprávali o tom, čo vlastne je prienik systému množín a čo znamená označenie $\bigcap\limits_{i\in I} S_i$. Aj keď príklady, na ktorých sme si to ukázali, boli iba také veľmi jednoduché - ako: $\bigcap\limits_{n\in\mathbb Z} (n,\infty)=\emptyset$ alebo $\bigcap\limits_{n\in\mathbb N} (-\frac1{n+1},\frac1{n+1})=\{0\}$.)
Pozreli sme sa aj na fakt, že podpriestor je opäť vektorovým priestorom.
Lineárna kombinácia. Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal. Lineárny obal je podpriestor.

5. prednáška (18.10.)
Lineárny obal. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.) Vektor $\vec\alpha$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\alpha]$.
Lineárna nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady.
Jeden vektor je lineárne závislý $\Leftrightarrow$ je to nulový vektor. (Toto zostalo na rozmyslenie.)
Dva vektory sú lineárne závislé $\Leftrightarrow$ jeden z nich je násobkom druhého. (Toto sme v podstate spravili.)
Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene a jej dôkaz. (Nabudúce sa vrátim k tomu, aby som ju vysvetlil na konkrétnom príklade).

******************

Na prednáške sme si povedali dve ekvivalentné definície lineárnej nezávislosti. (Vektory sú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé. Ekvivalentná podmienka bola vyjadrená implikáciou $c_1\vec\alpha_1+\dots+c_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$ $c_1=\dots=c_n=0$.) Ak niektorým z vás nebolo jasné, že sú skutočne ekvivalentné, odporúčam sa nad tým ešte zamyslieť. Prípadne sa môžete pozrieť na poznámku 4.3.12 v texte - to je ale skôr cvičenie na negácie výrokov s kvantifikátormi, ale možno to môže tiež pomôcť.

6. prednáška (25.10.)
Steinitzova veta. Pozreli sme sa ešte na Steinitzovu vetu na konkrétnom príklade.
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. Vzťah dimenzie priestoru a podpriestoru. (Toto som nedokazoval - nechal som na rozmyslenie.) Ak $S$ je podpriestor $V$ a $d(S)=d(V)$, tak $S=V$.

*****

V texte v tejto kapitole nájdete nejaké veci, ktoré som nehovoril na prednáške. Konkrétne som nerobil príklad 4.4.19 - ale veľa takýchto príkladov bude na cviku. Možno sa vám oplatí zamyslieť sa nad poznámkou 4.4.20, ktorá s týmto príkladom súvisí - ale opäť, ide o vec, ktorú budete počuť ešte viackrát.

Nerobil som príklad 4.4.21. To je ten istý príklad, ktorý je napísaný tu: viewtopic.php?t=349
Ide tam o dôkaz toho, že $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Koho to zaujíma, môže sa pozrieť - je to ukážka, že občas môžu veci z lineárnej algebry pomôcť v situáciách, kde by sme ich na prvý pohľad neočakávali. (A podobné veci budeme používať v Algebre 2, keď sa budeme rozprávať o rozšíreniach polí.)

Ak stihnete, tak niekedy na cviku sa možno dostanete k nejakému príkladu vektorového priestoru, ktorý nie je konečnorozmerný. (Dá sa to pozrieť v príklade 4.4.22.) Pre nás budú zaujímavé hlavne konečnorozmerné priestory.

Nehovoril som nič z poznámky 4.4.23 - tá hovorí iba o tom, že podobné veci fungujú aj v nekonečnorozmerných priestoroch. (My sme definovali lineárnu nezávislosť a lineárny obal iba pre konečne veľa vektorov; dalo by sa to spraviť aj pre ľubovoľnú množinu vektorov, nie nutne konečnú. Potom sa dá hovoriť o báze aj v nekonečnorozmerných priestoroch.)

1.11. bol štátny sviatok.

8. týždeň: (8.11.)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie.

Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali sme elementárne riadkové operácie a riadkovú ekvivalenciu matíc. Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici. Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar. Tiež sme ukázali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé. Videli sme na jednom príklade, ako sa dá zistiť či vektor patrí do $V_A$ ak $A$ je v redukovanom trojuholníkovom tvare - nabudúce začneme tým, že si takúto vec sformulujeme všeobecne.

Naschvál som nehovoril o súčte matíc, skalárnom násobku matice a o vektorovom priestor $M_{m,n}(F)$. K týmto veciam sa plánujem vrátiť, keď dokončím veci o riadkovej ekvivalencii. Nechcel som ale, aby to dnes dopadlo tak, že zostanem uprostred dlhšieho dôkazu. Preto som sa venoval radšej tým ďalším témam. (Chcel som hlavne stihnúť - pomerne dlhý - dôkaz toho, že pre každú maticu existuje RTM, ktorá je s ňou riadkovo ekvivalentná.)

9. týždeň: (15.11.)
Riadková ekvivalencia.
Pozreli sme sa na to, ako sa dá zistiť či vektor patrí do $V_A$ ak $A$ je v redukovanom trojuholníkovom tvare. Tiež sme ukázali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé.
Definícia hodnosti matice.
Pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$. Z toho sme ako dôsledok dostali ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc.

Odporúčam si samostatne pozrieť tieto veci:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že vám ten dôkaz bol nebol jasný.)
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM. (Ale o tomto budete hovoriť i na cviku.)
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Aj o tomto možno bude reč na cviku.)

Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, ekvivalentné podmienky. Platí $f(\vec0)=\vec0$.

Spomeniem aj to, že keby sme chceli predpis pre rotáciu o ľubovoľný uhol (nie iba $\frac\pi2$), tak ho vieme nájsť napríklad pomocou komplexných čísel - také niečo ste možno niektorí videli. A tiež že tento predpis budeme vedieť nájsť vcelku ľahko, keď sa naučíme nejaké základné veci o lineárnych zobrazeniach - viď. aj príklad 5.4.5 v poznámkach.

10. týždeň: (22.11.)
Operácie s maticami. Matice sa dajú sčitovať, násobiť skalárom. $M_{m,n}(F)$ s týmito operáciami tvorí vektorový priestor (dimenzie $mn$).
Lineárne zobrazenia. Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov. (Základná veta o lineárnych zobrazeniach.)
Matica lineárneho zobrazenia. (V texte je aj vyriešený príklad na nájdenie matice lineárneho zobrazenia - úloha 5.3.1. Na prednáške sme taký príklad nerobili, budeme takéto niečo robiť na cvičení.)
Zloženie dvoch lineárnych zobrazení je opäť lineárne.
Súčin matíc. Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním lineárnych zobrazení.
Stručne som povedal niečo o príklade týkajúcom sa zloženia dvoch rotácií. (V texte na webe je to príklad 5.4.5.) V tomto príklade dostaneme súčtové vzorce pre kosínus a sínus.
Niečo podobné sa dá odvodiť pomocou komplexných čísel. Nie je to náhoda - v skutočnosti sa komplexné čísla dajú zaviesť ako matice: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=571
Asociatívnosť a ďalšie vlastnosti (distributívnosť, násobenie jednotkovou maticou).
Vyjadrenie lineárneho zobrazenia ako $f(\vec\alpha)=\vec\alpha A_f$.
Inverzná matica. Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne, bijektívne. (Zatiaľ som ešte nestihol ukázať, že $f^{-1}$ je lineárne, ak $f$ je lineárne a bijektívne. K tomu a aj k definícii inverznej matice sa dostaneme nabudúce.)
Tu sú veci, ktoré som počas prednášky písal: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg/20211122sucin.pdf