Relácia $f(x)=f(y)$ a light verzia vety o izomorfizme

[Martin Sleziak]

Skúsime sa pozrieť na nejaké veci súvisiace s reláciou určenou nejakou funkciou a tiež nejaké veci súvisiace s reláciami ekvivalencie všeobecne. A neskôr si spomenieme, že to tak trochu súvisí aj s vetou o izomorfizme.$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}
\newcommand{\Zobrto}[3]{#1\colon#2\mapsto#3}
\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}
\newcommand{\vp}{\varphi}
\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}$

Relácia $\sim_f$.
Budeme sa teraz chvíľu zaoberať nasledovnou situáciou:
Prepokladajme, že máme surjektívne zobrazenie $\Zobr fXA$ a na množine $X$ definujeme reláciu $\sim$ podmienkou
$$x\sim y \Leftrightarrow f(x)=f(y).$$
(Ak bude treba zdôrazniť od akej funkcie táto relácia pochádza, tak použijeme označenie $\sim_f$.)

Malo by byť vcelku ľahké ukázať, že $\sim$ je relácia ekvivalencie.

Spoiler:

Všetky tri podmienky vyplývajú z vlastností rovnosti.

Reflexívnosť: Platí $f(x)=f(x)$.
Symetria: Ak platí $f(x)=f(y)$, tak platí $f(y)=f(x)$.
Tranzitívnosť: Ak platí $f(x)=f(y)$ a $f(y)=f(z)$, tak platí aj $f(x)=f(z)$.

Poďme sa zamyslieť aj nad tým, ako vyzerajú triedy ekvivalencie.
Pre každé $x$ máme $$[x]=\{y\in X; f(y)=f(x)\}.$$ To znamená, že v triede prvku $x$ sú tie prvky, v ktorých funkcia $f$ nadobúda rovnakú funkčnú hodnotu ako v $x$.
Teda každá trieda je jednoznačne určená nejakým prvkom množiny $A$ (kooboru) a obsahuje všetky jeho vzory. Inak povedané, každá trieda má tvar
$$\inv f(\{a\})=\{x\in X; f(x)=a\}$$
pre nejaké $a\in A$. (Na tomto mieste je už dôležité aj to, že pracujeme so surjektívnou funkciou $f$; veci spomenuté doteraz by fungovali aj bez surjektívnosti.)

Dá sa na to pozrieť aj tak, že každá trieda je "hladinová množina" funkcie $f$ -- v tej istej triede sú body, pre ktoré máme funkčné hodnoty "v tej istej výške" na grafe funkcie $f$.

Teda si vlastne môžeme uvedomiť, že máme bijekciu medzi množinou tried a množinou $A$, t.j. množinou hodnôt funkcie $f$.
\begin{gather*}
\Zobr\vp{{X/\sim}}A\\
\Zobrto\vp{[x]}{f(x)}
\end{gather*}

Spoiler:

Uvedené zobrazenie je dobre definované. Ak máme $[x]=[y]$, tak to znamená, že $x\sim y$ a teda $f(x)=f(y)$. Teda hodnota $\vp([x])$ nezávisí od výberu reprezentanta.

Zo surjektívnosti $f$ ľahko dostaneme, že aj $\vp$ je surjektívne.

Zobrazenie $\vp$ je aj injektívne. Ak totiž platí $$\vp([x])=\vp([y]),$$ tak to znamená, že $f(x)=f(y)$. Z toho dostávame $x\sim y$, a teda aj $$[x]=[y].$$

Každá relácia ekvivalencie má tvar $\sim_f$.
Tvrdenie, ktoré sme vyslovili vyššie, možno v istom zmysle obrátiť: Každú reláciu ekvivalencie vieme dostať takýmto spôsobom pre vhodné zobrazenie $f$.

Zoberme si ľubovoľnú reláciu ekvivalencie $\sim$ na množine $X$. Potom máme faktorovú množinu $X/\sim$ a zobrazenie
\begin{gather*}
\Zobr pX{X/\sim}\\
\Zobrto px{([x])}
\end{gather*}
Toto zobrazenie je určite surjektívne. A ak sa chvíľu budeme hrať s definíciami, tak prídeme na to, že relácia ekvivalencie s ktorou sme začali je presne relácia $\sim_p$.

Spoiler:

$x\sim y$ $\Lra$ $[x]=y$ $\Lra$ $p(x)=p(y)$ $\Lra$ $[x]=[y]$

Teda skutočne, ľubovoľnú reláciu ekvivalencie vieme dostať z vhodného surjektívneho zobrazenia.

Na druhej strane, toto nám nedáva veľa novej informácie - zobrazenie $p$ sme vytvorili pomocou tried ekvivalencie, čiže už sme potrebovali mať dostatok informácii o relácii $\sim$, aby sme ho vedeli popísať.
Situácia, kedy je takéto niečo užitočné, nastane v praxi vtedy, ak máme k dispozícii nejaké prirodzené zobrazenie, o ktorom máme dostatok informácia a z ktorého sa naša relácia ekvivalencie dá dostať.

Čo to má s vetou o izomorfizme?

S vetou o izomorfizme sa stretnete ešte viackrát. (Dokonca s viacerými vetami o izomorfizme, ale zostaňme zatiaľ pri tej, ktorú ste už videli tento semester.)
Tento semester takúto vetu stretneme pre komutatívne grupy a pre vektorové priestory. (Neskôr ju budete určite vidieť pre grupy a okruhy. A niektorí sa s ňou stretnete aj pri ďalších typoch štruktúr.)

Verzia pre komutatívne grupy nám hovorí niečo také, že ak máme nejaký surjektívny homomorfizmus $\Zobr fG{G'}$, tak pre podgrupu $H=\operatorname{Ker}f$ platí $G/H\cong G'$.
Dá sa na to pozrieť aj cez relácie ekvivalencie: Podgrupa $H$ určuje reláciu ekvivalencie $\sim$ takú, že
$$x\sim y \Leftrightarrow x-y\in H.$$
Môžeme si všimnúť, že to je presne relácia ekvivalencia $\sim_f$, t.j. ekvivalentne môžeme túto podmienku zapísať ako $f(x)=f(y)$.

Spoiler:

$x-y\in\operatorname{Ker} f$ $\Lra$ $f(x-y)=0$ $\Lra$ $f(x)-f(y)=0$ $\Lra$ $f(x)=f(y)$ $\Lra$ $x\sim_f y$

Podobne aj pre iné štruktúry bude veta o izomorfizme vyzerať podobne: Zo surjektívneho homomorfizmu nejako dostaneme izomorfizmus s faktorovou štruktúrou. A celá vec nejako súvisí s reláciou ekvivalencie určenou ako $\sim_f$. (Akurát pre vektorové priestory namiesto homomorfizmov použijeme lineárne zobrazenia.)

To je do istej miery podobná situácia ako sme videli vyššie - akurát tam sme sa pozerali na množiny bez akejkoľvek operácie, takže namiesto homomorfizmov berieme ľubovoľné zobrazenia. (Pri grupách nás zaujímajú operácie, ktoré zachovávajú grupovú operáciu. Pri vektorových priestoroch nás zaujímajú zobrazenia, ktoré zachovávajú sčitovanie a násobenie. Ak sa pozeráme na množiny bez akejkoľvek ďalšej štruktúry, tak tam nebudeme klásť žiadne ďalšie požiadavky na zobrazenia.)

T.j. zobrazenie môžeme chápať ako "homomorfizmus množín" a bijekciu ako "izomorfizmus množín".

Teda ak sme mali surjektívne zobrazenie $\Zobr fXA$, tak sme z neho dostali bijekciu medzi $X/\sim_f$ a $A$. (A vlastne to isté robíme pri vete o izomorfizme, akurát tam navyše chceme aby sa $f$ "slušne" správalo vzhľadom na grupovú štruktúru.)