Nájsť $H$, ak je zadané $G/H$

[Martin Sleziak]

Pre zadané grupy $G$ a $G'$ nájdite takú podgrupu $H$ grupy $G$, že platí $G/H\cong G'$. (Alebo zdôvodnite, že taká podgrupa $H$ v grupe $G$ neexistuje.)

• $G=(\mathbb Z_8,+)$ a $G'=(\mathbb Z_3,+)$
• $G=(\mathbb Z_8,+)$ a $G'=(\mathbb Z_4,+)$
• $G=(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4,+)$ a $G'=(\mathbb Z_4,+)$
• $G=(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4,+)$ a $G'=(\mathbb Z_2,+)$

Počet prvkov $H$
Pripomeňme, že o počte prvkov podgrupy a faktorovej grupy vieme
$$|G|=|G/H|\cdot|H|.$$
Máme navyše zadané $|G/H|=|G'|$. Teda vlastne v uvedenej rovnosti poznáme čísla $|G|$ aj $|G/H|$.
To znamená, že vieme vypočítať počet prvkov podgrupy $H$:
$$|H|=\frac{|G|}{|G/H|}=\frac{|G|}{|G'|}.$$
Ak už máme takúto informáciu, tak nebude príliš veľa možností pre $H$; azda máme šancu nejakú takú podgrupu nájsť.

Skupina A
Zaoberáme sa prípadom $G=(\mathbb Z_8,+)$ a $G'=(\mathbb Z_3,+)$.
Tu by sme dostali $|H|=\frac83$. Samozrejme, počet prvkov podgrupy musí byť celé číslo, takáto podgrupa neexistuje.

Skupina B
Teraz máme $G=(\mathbb Z_8,+)$ a $G'=(\mathbb Z_4,+)$.
Tu dostaneme, že $H$ je dvojprvková podgrupa grupy $\mathbb Z_8$. Dvojprvkové podgrupy sa hľadajú ľahko - stačí sa pozrieť, či vieme nájsť prvok inverzný sám k sebe (ktorý nie je NP).
Jediná taká podgrupa je $H=\{0,4\}$.
Pre ňu dostávame štyri triedy tvoriace faktorovú grupu:
\begin{gather*}
[0]=\{0,4\}\\
[1]=\{1,5\}\\
[2]=\{2,6\}\\
[3]=\{3,7\}
\end{gather*}
Takže dostávame takúto tabuľku grupovej operácie na $G/H$:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
+ & [0] & [1] & [2] & [3] \\\hline\hline
[0] & [0] & [1] & [2] & [3] \\\hline
[1] & [1] & [2] & [3] & [0] \\\hline
[2] & [2] & [3] & [0] & [1] \\\hline
[3] & [3] & [0] & [1] & [2] \\\hline
\end{array}
$$
Ak to porovnáme s tabuľkou grupy $(\mathbb Z_4,+)$, tak vidíme, že tieto dve grupy sú izomorfné.


Skupina C
Máme zadané $G=(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4,+)$ a $G'=(\mathbb Z_4,+)$.
Opäť vidíme, že potrebujeme dvojprvkovú podgrupu.

Tu máme tri dvojprvkové podgrupy:

• $H_1=\{(0,0),(1,0)\}$
• $H_2=\{(0,0),(0,2)\}$
• $H_3=\{(0,0),(1,2)\}$

Môžeme si všimnúť, že $H_1=\mathbb Z_2\times\{0\}$. V tomto prípade dostaneme štyri triedy rozkladu
\begin{gather*}
[(0,0)]=\{(0,0),(1,0)\}=\mathbb Z_2\times\{0\}\\
[(0,1)]=\{(0,1),(1,1)\}=\mathbb Z_2\times\{1\}\\
[(0,2)]=\{(0,2),(1,2)\}=\mathbb Z_2\times\{2\}\\
[(0,3)]=\{(0,3),(1,3)\}=\mathbb Z_2\times\{3\}\\
\end{gather*}
Opäť by sme mohli skúsiť vypísať tabuľky a porovnať.

V tomto prípade sa nám núka použiť vetu o izomorfizme, pretože ľahko zbadáme homomorfizmus, ktorého jadro je práve $H_1$:
\begin{gather*}
p \colon \mathbb Z_2\times\mathbb Z_4 \to \mathbb Z_4\\
p \colon (a,b) \mapsto b
\end{gather*}
Ľahko skontrolujeme, že $\operatorname{Ker} p=H_1$ a že $p$ je surjektívne.
Zobrazenie $p$ je aj homomorfizmus.

Spoiler:

$p((a,b)+(a',b'))=p(a+b',b+b')=b+b'=p(a,b)+p(a',b')$

Môžete si vyskúšať aj to, že pre $H_2$ a $H_3$ by sme nedostali grupu izomorfnú so $\mathbb Z_4$. (Vyšla by nám faktorová grupa izomorfná so $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$.)

Skupina D
Chceme sa ešte pozrieť na $G=(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4,+)$ a $G'=(\mathbb Z_2,+)$.
V tomto prípade teda potrebujeme nájsť podgrupu, ktorá má 4 prvky.
Opäť je takýchto možností viac, ale pri pohľade na to, čo sme riešili vyššie, nám asi vcelku prirodzene príde na um použiť
$$H=\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)\}=\{0\}\times\mathbb Z_4.$$

Na zdôvodnenie, že $G/H\cong \mathbb Z_2$ môžeme:

• Vypísať tabuľku.
• Zdôvodniť, že ľubovoľné dve 2-prvkové grupy sú izomorfné.
• Použiť vetu o izomorfizme podobne ako v skupine C - s tým rozdielom, že teraz

[Martin Sleziak]

Komentáre k odovzdaným riešeniam

Niektorí ste v riešení chceli overiť, že nejaké zobrazenie je homomorfizmus.
Definícia homomorfizmu $f\colon G_1\to G_2$ je
$$(\forall x,y\in G_1) f(x*_1y)=f(x)*_2f(y).$$
Našli sa ľudia, ktorí overili, že obraz neutrálneho prvku je neutrálny a obraz inevrzného prvku je inverzný -- toto na overenie, že nejaké zobrazenie je homomorfizmus nestačí.
EDIT: O čosi detailnejšie k tomu, prečo to nefunguje: viewtopic.php?t=1737

[Martin Sleziak]

Úloha takéhoto typu sa objavila aj tento semester.

Pre $G=(\mathbb Z_9,+)$ a $G'=(\mathbb Z_4,+)$ neexistuje podgrupa $H$ s uvedenými vlastnosťami. Zdôvodnenie je rovnaké ako je uvedené vyššie - mali by sme $|G|=|G/H|\cdot|H|=|G'|\cdot|H|$, teda počet prvkov grupy $G$ by musel byť celočíselný násobok štvorky.

Pre $G=(\mathbb Z_9,+)$ a $G'=(\mathbb Z_3,+)$ môžeme zobrať $H=\{0,3,6\}$. (Je to aj jediná možnosť; inú trojprvkovú podgrupu v $\mathbb Z_9$ nemáme.)
Zdôvodniť, že $G/H$ je skutočne izomorfná so $(\mathbb Z_3,+)$ môžem tak, že si vypíšem triedy $G/H=\{[0],[1],[2]\}$, vyplním tabuľku faktorovej grupy a porovnám s tabuľkou grupy $G'$.
Ak ste to dokazovali z vety o izomorfizme, tak vhodný surjektívny homomorfizmus je
\begin{gather*}
f\colon \mathbb Z_9 \to \mathbb Z_3\\
f\colon x \mapsto x\bmod 3
\end{gather*}
(Samozrejme, bolo treba ešte nejako zdôvodniť, že to je naozaj surjektívny homomorfizmus. A presvedčiť sa, že $\operatorname{Ker} f=H$.)

Nejaké poznámky k riešeniam:
* Ak v riešení nebolo overenie, či $H$ je naozaj podgrupa, nijaké body som za to nestŕhal. (Pre tento prípad to vidno rýchlo a robili sme už viacero úloh takéhoto typu.)
* Ak ste použili vetu o izomorfizme, akceptoval som aj to, ak ste napísali, že je to špeciálny prípad homomorfizmu $q_m\colon \mathbb Z_{km}\to \mathbb Z_m$, ktorý poznáte z prednáškových úloh.
* Argument, že dve grupy majú rovnaký počet prvkov nestačí na zdôvodnenie, že sú izomorfné.
* V jednej z úloh sa vyskytlo tvrdenie, že $\mathbb Z_3$ je podgrupa v $(\mathbb Z_9,+)$. To nie je pravda - podgrupa musí byť uzavretá na grupovú operácie, čo je v tomto prípade sčitovanie modulo 9. Podmnožina $\mathbb Z_3=\{0,1,2\}$ na túto operáciu uzavretá nie je: Máme napríklad $2+2=4\notin\mathbb Z_3$. (Iný pohľad na to isté: Operácia na podgrupe má byť taká istá ako operácia v celej grupe po zúžení na $H\times H$. Tu však máme $2+_32=1\ne4=2+_92$.)